什么是幂级数，它在哪里有意义

以 a 为中心的无穷多项式

幂级数是形如 sum from n=0 to infinity of c_n (x - a)^n 的表达式，其中 c_n 是固定的系数，a 是中心。对每个固定的 x，它只是一个实数的无穷级数，所以含义与任何级数完全相同：构造部分和 s_N(x) = sum from n=0 to N of c_n (x - a)^n，问当 N 增大时 s_N(x) 是否趋于某极限。若是，则级数在 x 处收敛，其和是一个数；若否，则在该处发散。

所以幂级数不是一个数；它在它收敛的那个 x 集合上定义了一个函数。整门学科都从确定这个集合开始。注意它总包含中心：当 x = a 时，所有 n >= 1 的项都消失，只剩 c_0。

收敛集是一个区间

下面是使理论变得干净的结构性事实。若中心在 a 的幂级数在某点 x_1（其中 |x_1 - a| = r_1 > 0）处收敛，则它在每个满足 |x - a| < r_1 的 x 处绝对收敛。原因是与几何级数作比较：在 x_1 处收敛迫使各项 c_n (x_1 - a)^n 有界，而更近的点得到一个严格小于 1 的几何因子。

Claim: if sum c_n (x_1 - a)^n converges, then for any x with
       |x - a| < |x_1 - a| the series sum c_n (x - a)^n converges absolutely.

Step 1 (terms are bounded).  A convergent series has terms -> 0,
        so the sequence c_n (x_1 - a)^n is bounded:
        there is M with |c_n (x_1 - a)^n| <= M  for all n.

Step 2 (set the ratio).  Let t = |x - a| / |x_1 - a|.
        By assumption 0 <= t < 1.

Step 3 (geometric bound).  For each n,
        |c_n (x - a)^n| = |c_n (x_1 - a)^n| * t^n <= M * t^n.

Step 4 (compare).  sum M t^n is a geometric series with ratio t < 1,
        hence converges.  By the comparison test,
        sum |c_n (x - a)^n| converges -> absolute convergence.   QED

一点处的收敛向内传播到每个更近的点。

这条引理迫使收敛集成为以 a 为中心的区间。定义 R 为使级数收敛的所有距离 |x - a| 的上确界（允许 R = 0 或 R = 无穷）。那么级数对每个 |x - a| < R 收敛，对每个 |x - a| > R 发散。这个半宽 R 就是收敛半径——附在幂级数上最重要的那个数。

R 的三种大小

R = 0：级数只在中心收敛。例如 sum n! x^n。对任何 x != 0，各项 n! x^n 都爆炸增长，故除 x = 0 外处处发散。
0 < R < 无穷：在 (a - R, a + R) 上收敛，区间外发散。例如 sum x^n 的 R = 1。
R = 无穷：对每个实数 x 收敛。例如 sum x^n / n!（指数级数）处处收敛。