函数演算与无界算子

把函数作用于算子

若自伴算子 T 对角化为 Tx = Σ λₙ⟨x,eₙ⟩eₙ，则对 σ(T) 上任意函数 f，我们只需定义 f(T)x = Σ f(λₙ)⟨x,eₙ⟩eₙ。这就是[[functional-calculus|函数演算]]：逐特征值地作用 f。它是真正的代数同态——(f+g)(T) = f(T)+g(T)，(fg)(T) = f(T)g(T)，且 ‖f(T)‖ = sup_{λ∈σ(T)}|f(λ)|——故算子的繁杂代数化为谱上函数的简易代数。

Square root of a positive operator, via functional calculus.

Let T be self-adjoint with sigma(T) contained in [0, inf): a positive operator,
  Tx = sum_n lambda_n <x, e_n> e_n,  with each lambda_n >= 0.

Define S = T^{1/2} by applying f(t) = sqrt(t):
  S x = sum_n sqrt(lambda_n) <x, e_n> e_n.

Check S^2 = T:
  S^2 x = sum_n ( sqrt(lambda_n) )^2 <x, e_n> e_n
        = sum_n lambda_n <x, e_n> e_n = T x.   good

S is self-adjoint (real eigenvalues sqrt(lambda_n)) and positive (sqrt(lambda_n) >= 0).
So every positive operator has a unique positive square root --
the operator analogue of sqrt of a non-negative number.

当算子无界时

物理学的算子——位置、动量、能量——无界，故无法在整个 H 上定义。无界算子带有稠密的定义域 D(T) ⊊ H，在其上作用；良好行为要求它闭（图像闭）而非连续。L²(ℝ) 上的微分算子 T = i d/dx 是范例：它无界，因为 i d/dx 作用于 eⁱᵏˣ 得 −k·eⁱᵏˣ，而 k 可任意大，故没有单一常数界住 ‖Tf‖/‖f‖。

完整的谱定理与量子力学

当 σ(T) 不是离散特征值集时，和式 Σ λₙ⟨x,eₙ⟩eₙ 变为对投影值测度 E 的积分：Tx = ∫_{σ(T)} λ dE(λ)。这是一般的谱定理，对任何（可能无界的）自伴算子成立，且涵盖 H 中根本没有特征向量的连续谱情形——L²(ℝ) 上的位置算子有等于整个 ℝ 的纯连续谱。函数演算也随之推广：f(T) = ∫ f(λ) dE(λ)。

这是量子力学的数学核心。可观测量是一个自伴算子 T；其谱 σ(T) 是可能的测量值集合，投影值测度 E 给出落入某值域的概率。时间演化是酉算子 e^{−itH}，由哈密顿量 H 经函数演算（取 f(λ) = e^{−itλ}）构造。整个框架立于无界自伴算子的谱定理之上——正是本轨道一路攀登的目的地。并非巧合，傅里叶变换恰是把 i d/dx 对角化的那个酉算子。