自伴算子与谱定理

伴随、自伴与正规

在希尔伯特空间 H 上，每个有界算子 T 都有伴随 T*，由 ⟨Tx, y⟩ = ⟨x, T*y⟩ 对所有 x, y 定义，用到内积。T 称为自伴，若 T = T*；正规，若 TT* = T*T；酉，若 T*T = TT* = I。自伴是实对称矩阵的算子类比；正规是任何可酉对角化矩阵的类比。伴随是让几何——角度与正交——与 T 的代数对话的桥梁。

Two facts you can verify by hand for self-adjoint T (T = T*).

(1) <Tx, x> is real for every x.
    <Tx, x> = <x, T*x> = <x, Tx> = conj(<Tx, x>),
    and z = conj(z) means z is real.

(2) Eigenvalues are real and eigenvectors for distinct eigenvalues are orthogonal.
    Let Tx = lambda x with x != 0.  Then
       lambda <x,x> = <Tx, x> = <x, Tx> = conj(lambda) <x,x>,
    so lambda = conj(lambda): lambda is real.
    If also Ty = mu y with mu != lambda, then
       lambda <x,y> = <Tx, y> = <x, Ty> = mu <x,y>   (mu real)
       => (lambda - mu)<x,y> = 0 => <x,y> = 0.

自伴性强制特征值为实、特征空间正交——正是矩阵的故事。

范数等于谱半径

对自伴算子，谱是实的，落在区间 [m, M] 内，其中 m = inf‖x‖=1 ⟨Tx,x⟩，M = sup‖x‖=1 ⟨Tx,x⟩，且两端点确实在 σ(T) 中。一个引人注目的结论：‖T‖ = r(T) = max(|m|, |M|)。所以对自伴算子，范数——一个分析量——可直接从谱读出，且 ‖T‖ = sup{|λ| : λ ∈ σ(T)}。正算子（⟨Tx,x⟩ ≥ 0）恰好是 σ(T) ⊆ [0, ∞) 的自伴算子。

紧自伴算子的谱定理

把紧性与自伴性结合，便得到存在的最干净的无穷维对角化。紧自伴算子的[[ana-spectral-theorem|谱定理]]断言：存在 T（其像闭包）的由特征向量构成的标准正交基 (eₙ)，伴有实特征值 λₙ → 0，且对每个 x 有 Tx = Σₙ λₙ ⟨x, eₙ⟩ eₙ。每个 eₙ 把 T 对角化；整个算子是投影到其特征线上的秩一投影的加权和。这正是用标准正交特征基对角化对称矩阵的无穷维孪生。

通过在单位球面上最大化 ⟨Tx,x⟩，证明 T 有特征值 λ₁ 满足 |λ₁| = ‖T‖；紧性使极大点可达。
把 T 限制到 e₁ 的正交补；这个子空间是 T-不变的，T 在其上仍是紧自伴。
重复以提取 e₂, e₃, …，|λₙ| 递减；紧性迫使 λₙ → 0。
验证 eₙ 张成像的闭包，故 Tx = Σ λₙ⟨x,eₙ⟩eₙ 对所有 x 成立。