紧的含义
巴拿赫空间上的有界算子 K 称为紧的，如果它把单位球映为闭包紧致的集合——等价地，每个有界序列 (xₙ) 都有子列使 (Kxₙ) 收敛。有限秩算子是紧的，且紧算子的范数极限仍紧，故紧性即有限秩算子在算子范数下的闭包。紧性恰好是在无穷维中恢复波尔查诺–魏尔斯特拉斯行为的性质，否则那里的单位球从不紧致。
里斯–绍德尔谱图景
回报在此。对无穷维空间上的紧算子 K，谱 σ(K) 是可数集，0 是其唯一可能的聚点。σ(K) 的每个非零点都是有限重数的特征值，且对每个 ε > 0 只有有限多个特征值满足 |λ| ≥ ε。因此谱是一列趋于 0 的特征值 λₙ（可能有限），再加上 0 本身——在无穷维中 0 总属于 σ(K)，因为 K 不可能可逆。
Why eigenvalues cannot accumulate away from 0.
Suppose lambda_n -> lambda with |lambda| > 0, distinct eigenvalues,
with eigenvectors e_n. Distinct eigenvalues => the e_n are independent.
Let M_n = span(e_1, ..., e_n), a strictly increasing chain of closed subspaces.
By Riesz's lemma pick y_n in M_n with ||y_n|| = 1 and dist(y_n, M_{n-1}) >= 1/2.
For m < n, compute K y_n - K y_m:
(K - lambda_n) maps M_n into M_{n-1}, and K y_m lies in M_{n-1}, so
K y_n - K y_m = lambda_n y_n - [ stuff in M_{n-1} ].
Hence ||K y_n - K y_m|| >= |lambda_n| * dist(y_n, M_{n-1}) >= |lambda_n|/2.
Since lambda_n -> lambda != 0, ||K y_n - K y_m|| >= |lambda|/4 for large n,m.
So (K y_n) has NO convergent subsequence, contradicting compactness of K.
Therefore eigenvalues can only accumulate at 0. QED弗雷德霍姆择一律
对紧算子 K 与 λ ≠ 0，算子 K − λI 以最干净的意义表现得像矩阵：它是指标为零的弗雷德霍姆算子。具体地，弗雷德霍姆择一律说恰好二者之一成立。要么 K − λI 可逆（于是方程 (K − λI)x = y 对每个 y 有唯一解），要么 λ 是特征值，此时齐次方程 (K − λI)x = 0 有非零解，而非齐次方程仅当 y 与伴随算子的有限维核正交时可解。没有中间地带——除 0 外没有连续谱。