预解式与谱半径

作为解析族的预解式

在预解集 ρ(T) 上定义 R(λ) = (T − λI)⁻¹，即预解式。两行计算给出预解恒等式 R(λ) − R(μ) = (λ − μ)R(λ)R(μ)。除以 λ − μ 并令 μ → λ，可见 R 可微且 R′(λ) = R(λ)²，故预解式是开集 ρ(T) 上的解析算子值函数。这种解析性是关于谱的每条定理背后的引擎。

Resolvent identity, derived from a single algebraic trick:

  R(lambda) - R(mu)
    = R(lambda) [ (T - mu I) - (T - lambda I) ] R(mu)      (insert I = (T-muI)R(mu) on left,
                                                            I = R(lambda)(T-lambdaI) on right)
    = R(lambda) [ (lambda - mu) I ] R(mu)
    = (lambda - mu) R(lambda) R(mu).

So  [R(lambda) - R(mu)] / (lambda - mu) = R(lambda) R(mu).
Let mu -> lambda:  R'(lambda) = R(lambda)^2.
=> R is analytic on rho(T), with all the consequences of analyticity.

预解恒等式，R 的可微性即由它直接得出。

诺伊曼级数与半径界

对 |λ| > ‖T‖，我们把 R(λ) 展成算子的几何级数：−(1/λ)(I − T/λ)⁻¹ = −Σ_{n≥0} Tⁿ/λⁿ⁺¹。它按算子范数收敛，因为 ‖Tⁿ/λⁿ⁺¹‖ ≤ ‖T‖ⁿ/|λ|ⁿ⁺¹，是收敛的几何级数。故每个这样的 λ 都在 ρ(T) 中，确认 σ(T) ⊆ {|λ| ≤ ‖T‖}，并给出界 r(T) ≤ ‖T‖，其中 r(T) = sup{|λ| : λ ∈ σ(T)} 是谱半径。

盖尔范德谱半径公式

精确的陈述是盖尔范德公式：r(T) = lim_{n→∞} ‖Tⁿ‖^{1/n}，且此极限总存在。直觉是：R(λ) 的诺伊曼级数是关于 1/λ 的幂级数，其系数为 Tⁿ，而幂级数恰好在收敛半径之外收敛。由于 R 在整个 ρ(T) 上解析，它可能失效的最大 λ——σ(T) 的边界——由作用于 ‖Tⁿ‖ 的柯西–阿达马根值判别法支配。

次乘性 ‖T^{m+n}‖ ≤ ‖Tᵐ‖‖Tⁿ‖ 使 log‖Tⁿ‖ 次可加，故 lim ‖Tⁿ‖^{1/n} = inf_n ‖Tⁿ‖^{1/n} 存在（费克特引理）。
级数 Σ Tⁿ/λⁿ⁺¹ 对 |λ| > lim‖Tⁿ‖^{1/n} 收敛，故 r(T) ≤ lim‖Tⁿ‖^{1/n}。
R 在 |λ| > r(T) 上的解析性迫使两个半径相等，给出 r(T) = lim‖Tⁿ‖^{1/n}。