谱：重新理解特征值

从特征值到不可逆

固定复巴拿赫空间 X 上的一个有界线性算子 T。标量 λ 是特征值，如果存在非零 x 使 Tx = λx——等价地，T − λI 有非平凡核。在有限维中，这是 T − λI 不可逆的唯一方式，所以坏的 λ 恰好就是特征值。因此诚实的无穷维定义抛开特征向量，保留真正的祸首：λ 属于谱 σ(T)，当且仅当 T − λI 作为有界算子不可逆。其补集是预解集 ρ(T)。

三种失败方式

S = T − λI 的可逆性会因三种原因失效，它们把 σ(T) 切成几块。若 S 非单，则 λ 在点谱中——这些是真正的特征值。若 S 单且像稠密但不闭，则不存在有界逆；λ 落在连续谱中。若 S 单但其像甚至不稠密，则 λ 在剩余谱中。下面的移位算子表明连续与剩余两种情形并非奇异的稀罕物。

Right shift S on l^2:  S(x_1, x_2, x_3, ...) = (0, x_1, x_2, ...)

Claim: 0 is in sigma(S) but is NOT an eigenvalue.

Injective?  Sx = 0 forces (0, x_1, x_2, ...) = 0, so every x_k = 0.
            Hence ker S = {0}: 0 is NOT in the point spectrum.

Surjective? Range of S = { y in l^2 : y_1 = 0 }.
            The vector e_1 = (1,0,0,...) is not in the range.
            So S is not onto, hence S - 0*I = S is not invertible.

Conclusion: 0 in sigma(S), but 0 is not an eigenvalue.
            (Range is closed but proper => 0 lies in the residual spectrum.)

Contrast: ||S x|| = ||x||, so S is an isometry, ||S|| = 1,
          and one shows sigma(S) = closed unit disk { |lambda| <= 1 }.

右移算子的谱是整个闭单位圆盘，却没有一个特征值。

谱是紧的且非空

对复巴拿赫空间上每个有界 T，有两条结构性事实。其一，σ(T) 闭且有界——实际上含于圆盘 |λ| ≤ ‖T‖ 内，因为当 |λ| > ‖T‖ 时，诺伊曼级数 Σ λ⁻ⁿ⁻¹ Tⁿ 按算子范数收敛并求得 T − λI 的逆。其二，σ(T) 从不为空：否则预解式 λ ↦ (T − λI)⁻¹ 将是一个在无穷处消失的有界整函数，由刘维尔定理必为零——荒谬。