重积分、富比尼定理与换元

重积分

在盒子 R = [a_1, b_1] × ... × [a_n, b_n] 上，重积分的构造与一元情形完全相同。用分割把 R 切成小盒子，作（函数值）×（小盒体积）的黎曼和，再问当网格变细时这些和是否收敛。若收敛，则 f 黎曼可积，极限即积分。盒子上的有界 f 可积，当且仅当其不连续点集为零测集——这就是勒贝格判别准则。

富比尼：一次积一个变量

直接计算多维极限是无望的。富比尼定理解救了我们：二重（或 n 重）积分等于累次积分，逐个变量计算，且积分次序可以交换。每个内层积分都是你已会的普通一元积分。

Fubini on a box (f continuous, hence integrable):

   integral_R  f dV  =  integral_a^b ( integral_c^d f(x, y) dy ) dx
                     =  integral_c^d ( integral_a^b f(x, y) dx ) dy.

Example: f(x, y) = x y over R = [0, 1] x [0, 2].

   inner: integral_0^2 x y dy = x * [ y^2/2 ]_0^2 = x * 2 = 2x.
   outer: integral_0^1 2x dx = [ x^2 ]_0^1 = 1.

Swap the order to double-check:
   inner: integral_0^1 x y dx = y * [ x^2/2 ]_0^1 = y/2.
   outer: integral_0^2 (y/2) dy = [ y^2/4 ]_0^2 = 1.   Same answer.

二重积分化为两次累次积分——两种次序一致。

换元：雅可比行列式度量体积

一元换元法则在 n 维中长出一个雅可比因子。在 C^1 可逆映射 T 之下，一个小盒映为一个小平行六面体，其体积被 |det DT| 缩放。于是换元公式插入这个雅可比行列式的绝对值，作为局部体积形变因子。

Change of variables. If T : U -> V is a C^1 bijection with C^1 inverse,

   integral_V  f(y) dy  =  integral_U  f( T(u) ) * | det DT(u) |  du.

Polar coordinates T(r, theta) = ( r cos theta, r sin theta ):

   DT = [ cos theta   -r sin theta ;  sin theta   r cos theta ]
   det DT = r cos^2 theta + r sin^2 theta = r,  so | det DT | = r.

Compute the Gaussian integral via this. Let I = integral_{R^2} e^{-(x^2+y^2)} dA.

   I = integral_0^{2pi} integral_0^{infinity} e^{-r^2} * r dr dtheta
     = 2pi * [ -1/2 e^{-r^2} ]_0^{infinity}
     = 2pi * (1/2) = pi.

Therefore integral_{-inf}^{inf} e^{-x^2} dx = sqrt(I) = sqrt(pi).

雅可比因子 r 把极坐标化为经典的高斯积分。

回望整个阶梯：全导数给了我们线性逼近，它的行列式恰是局部体积比例，而这正是积分中出现的因子。多元的微分与积分，在雅可比矩阵处相遇。