从直线到 R^n
在一元微积分中，输入位于实数轴上，导数只度量一个斜率。现在输入是 R^n 中的一点 x = (x_1, ..., x_n)，而多元函数 f: U -> R 把这样一点映为一个实数。定义域 U 是 R^n 的开子集，因此 U 中每一点都有一个完全落在 U 内的小球——一个邻域。能够朝每个方向移动的余地，正是我们谈论导数所需要的。
一个好用的图像是水平集 {x : f(x) = c}：对 f(x, y) = x^2 + y^2 它们是圆，图像是一个碗。极限与连续性的定义和在直线上一样，只是现在 |x - a| 是欧氏距离，因此 x -> a 意味着该点同时从所有方向逼近 a。
偏导数与方向导数
最简单的导数是固定其余变量、只让一个变量变化。f 关于 x_j 在 a 处的偏导数，就是一元函数 t -> f(a + t e_j) 的普通导数，其中 e_j 是第 j 个坐标方向。更一般地，对单位向量 v，方向导数是下面的极限，即沿方向 v 离开 a 时的变化率。
Partial derivative of f at a in direction e_j:
D_j f(a) = lim_{t -> 0} ( f(a + t e_j) - f(a) ) / t
Directional derivative in unit direction v:
D_v f(a) = lim_{t -> 0} ( f(a + t v) - f(a) ) / t
Worked example: f(x, y) = x^2 y, a = (1, 3).
Hold y fixed: d/dx ( x^2 * 3 ) = 6x, at x=1 gives D_1 f(a) = 6.
Hold x fixed: d/dy ( 1 * y ) = 1, so D_2 f(a) = 1.
Now a diagonal direction v = (1/sqrt2, 1/sqrt2):
g(t) = f(1 + t/sqrt2, 3 + t/sqrt2)
g'(0) = 6 * (1/sqrt2) + 1 * (1/sqrt2) = 7/sqrt2.
Notice 7/sqrt2 = (6, 1) . (1/sqrt2, 1/sqrt2) — partials predicted it.为什么偏导数还不够
教训是：偏导数只探测坐标轴方向，甚至所有方向导数都存在，f 仍可能不连续。我们需要一个更强的条件，能同时控制 f 沿每条路径的行为。那就是全导数，下一篇的主题。