柯西序列与完备性

聚拢：柯西序列

收敛要求各项趋向某个特定点 L。但我们常常想察觉各项正在“安定下来”，却不指明其归宿。若序列 (x_n) 的各项最终彼此接近并保持接近，则称其为柯西序列：对每个 epsilon > 0，存在 N，使得对所有 m, n ≥ N 都有 d(x_m, x_n) < epsilon。这个定义中没有出现极限——只有各项之间的相互距离。

每个收敛序列都是柯西的——一旦所有项都落在极限的 epsilon/2 之内，它们彼此就在 epsilon 之内。逆命题才是微妙之处，也是各个空间相互区别的地方。

Claim: every convergent sequence is Cauchy.

Suppose x_n -> L.  Fix epsilon > 0.
There is N with d(x_n, L) < epsilon/2 for all n >= N.

Now take any m, n >= N.  By the triangle inequality,

      d(x_m, x_n) <= d(x_m, L) + d(L, x_n)
                  <  epsilon/2 + epsilon/2
                  =  epsilon.

So the terms are mutually within epsilon for m, n >= N,
which is exactly the Cauchy condition.   QED

The CONVERSE (Cauchy => convergent) can FAIL:
  In X = the rationals Q with d(x, y) = |x - y|,
  the decimal truncations 1, 1.4, 1.41, 1.414, ... are Cauchy
  (consecutive terms differ by at most 10^(-k)),
  but their would-be limit sqrt(2) is NOT in Q.
  The sequence bunches toward a hole.

收敛 ⇒ 柯西总成立；逆命题在有理数上失败，那里 √2 是一个缺失的极限。

完备性

若逆命题处处成立——每个柯西序列都真正收敛到该空间中的一点——则称该度量空间为完备度量空间。完备性是说空间没有洞——无论各项在何处聚拢，总有一个真正的极限在等候。实数 R 是范例；其完备性本质上正是把 R 与 Q 区别开来的完备性公理的内容。有理数 Q 则是范例性的反例，正如上面的 √2 序列所示。

填洞：完备化

若一个空间有洞，我们能堵上吗？能，而且是典范地。度量空间 X 的完备化是一个完备空间 X̂，它含有 X 的一份忠实拷贝作为稠密子集——X̂ 中每个点都是 X 中点的极限。“忠实拷贝”由等距映射精确化：一个精确保持所有距离的映射，d(f(x), f(y)) = d(x, y)。Q 在 |x − y| 下的完备化恰好是 R；每个无理数都是有理柯西序列的极限。

构造很优雅：取 X 中所有柯西序列构成的集合，当两个柯西序列对应项之间的距离趋于 0 时宣布它们等价，并令新的点就是这些等价类。Q 中 √2 这个洞，字面上就成了所有向它聚拢的有理序列所构成的那个类。这与最初由 Q 构造 R 是同一个思想。