内部、闭包、边界与收敛

内部、闭包、边界

给定任意集合 A，内部 int(A) 是舒适地位于 A 内部的点的集合——即存在某球 B(a, r) ⊆ A 的点 a。它是包含于 A 的最大开集。闭包 cl(A) 是包含 A 的最小闭集；等价地，它是 A 连同所有被 A 紧贴的点。边界 ∂A 是从闭包中减去内部所剩下的：∂A = cl(A) \ int(A)——集合的“表皮”，既不安全地在内、也不安全地在外的点。

取实数轴上的 A = (0, 1]。其内部是 (0, 1)——端点 1 没有任何停留在 A 内的球。其闭包是 [0, 1]——点 0 被 A 中任意靠近的点所紧贴。其边界是两点集 {0, 1}。若 a 周围的每个球都含有 A 中异于 a 本身的点，则称 a 是 A 的极限点；闭包恰好是 A 连同它所有的极限点。

移植后的收敛

在实数轴上，x_n → L 意为：对每个 epsilon > 0，存在指标 N，使得对所有 n ≥ N 都有 |x_n − L| < epsilon。要定义度量空间中的收敛，我们只改一个符号——把 |x_n − L| 换成 d(x_n, L)。若对每个 epsilon > 0 存在 N 使得当 n ≥ N 时 d(x_n, L) < epsilon，则称序列 (x_n) 在 (X, d) 中收敛到 L。等价地：x_n 最终落入 L 周围的每个球内。整套epsilon-N机制原封不动地存活下来。

有一项继承值得证明：极限是唯一的。论证是经典的三角不等式夹挤，它在任意度量空间中都成立，因为它唯一用到的工具就是公理本身。

Claim: in any metric space a sequence has at most one limit.

Suppose x_n -> L and x_n -> M.  We show L = M.
Fix any epsilon > 0.

From x_n -> L: there is N1 with d(x_n, L) < epsilon/2 for n >= N1.
From x_n -> M: there is N2 with d(x_n, M) < epsilon/2 for n >= N2.

Pick any n >= max(N1, N2).  By the triangle inequality,

      d(L, M) <= d(L, x_n) + d(x_n, M)
              <  epsilon/2 + epsilon/2
              =  epsilon.

So d(L, M) < epsilon for EVERY epsilon > 0.
The only non-negative number smaller than every epsilon is 0,
so d(L, M) = 0, and by the identity axiom L = M.   QED

用序列刻画闭集

收敛给出闭性的第二种、往往更好用的描述。集合 F 是闭的，当且仅当它是序列闭的：每当 F 中点构成的序列收敛时，其极限也落在 F 内。这正是为何“闭”给人“包含自身极限”的感觉。要证明某集合是闭的，一个干净的策略是抓取其中一个收敛序列，并证明极限无法逃逸。