球、开集与闭集

作为邻域的球

固定一点 a 与半径 r > 0。开球 B(a, r) 是所有到 a 的距离严格小于 r 的点的集合：B(a, r) = { x ∈ X : d(x, a) < r }。闭球允许取等：B[a, r] = { x : d(x, a) ≤ r }。在实数轴上，B(a, r) 是开区间 (a − r, a + r)；在带欧几里得度量的平面上它是圆盘；在最大值度量下，同样的定义却给出一个正方形。形状取决于度量，但作用始终如一：球是“附近”的精确版本。

开集

若一个集合 U 的每个点周围都存在某个完全落在 U 内的开球，则称 U 是开的。形式地：对每个 a ∈ U，存在 r > 0 使得 B(a, r) ⊆ U。半径可以依赖于点——靠近 U“边缘”的点得到较小的球。开性意味着：U 中没有任何点紧贴外部；每个点都有摆动的余地。

这个名字是诚实的：开球确实是开的。这恰恰是三角不等式发挥作用之处。取 B(a, r) 内一点 x；它到中心的距离 d(x, a) < r，留有一段余量 r − d(x, a)。以该半径在 x 周围作球，便保持在大球之内。

Claim: every open ball B(a, r) is an open set.

Let x be an arbitrary point of B(a, r), so d(x, a) < r.
Define the slack s = r - d(x, a).  Since d(x, a) < r, we have s > 0.

We show B(x, s) is contained in B(a, r).
Let y be any point of B(x, s), so d(y, x) < s.
Apply the triangle inequality with center a:

      d(y, a) <= d(y, x) + d(x, a)
              <  s        + d(x, a)
              =  (r - d(x, a)) + d(x, a)
              =  r.

Hence d(y, a) < r, so y is in B(a, r).
Thus B(x, s) is a subset of B(a, r).

Since x was arbitrary in B(a, r), every point has such a ball,
so B(a, r) is open.   QED

闭集及其遵循的规则

当一个集合 F 的补集 X \ F 是开的时，称 F 是闭的。闭集恰好是包含自身所有极限的集合——下一篇会把这点说精确。当心一个常见陷阱：开与闭不是对立的。在任意空间中，全集 X 与空集同时既开又闭；轴上的区间 [0, 1) 则既非开也非闭。

1. 空集与全空间 X 是开的。
2. 任意多个（甚至无穷多个）开集的并是开的。
3. 有限个开集的交是开的——但无穷个交可能失败（例如球 B(0, 1/n) 之交为单点 {0}，它在轴上不是开的）。
4. 由取补，闭集满足镜像规则：任意多个闭集的交、有限个闭集的并仍是闭的。