只保留距离
在实数轴上，我们用绝对值来度量两个数相距多远：从 x 到 a 的距离是 |x − a|。初等分析中几乎一切——极限、连续、收敛——都通过这一个量来表述。度量空间的核心想法，就是保留距离的概念，丢掉其余一切。我们要问：整套理论真正用到的，是 |x − a| 的哪些最基本性质？
答案很简短。我们需要距离永不为负，当且仅当两点重合时为零，是对称的，并满足三角不等式。度量就是任何遵守这四条规则的函数。一个惊人的事实（本轨道接下来会逐步展开）是：这四条规则足以重建开集、收敛与完备性——对函数空间、序列空间、码字、甚至分形都成立。
四条公理
设 X 是一个点的集合。X 上的度量是一个函数 d : X × X → R，给每一对点指派一个实数，并对所有 x, y, z ∈ X 满足以下条件：
- 非负性： d(x, y) ≥ 0。距离永不为负。
- 不可分辨者同一： d(x, y) = 0 当且仅当 x = y。距离为零恰好确定一个点。
- 对称性： d(x, y) = d(y, x)。从 x 到 y 的距离等于返回的距离。
- 三角不等式： d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)。绕道经过 y 永远不会比直走更短。
若干例子，及一次验证
在平面 R^2 上，熟悉的欧几里得度量是 d2(x, y) = sqrt((x1 − y1)^2 + (x2 − y2)^2)。但出租车度量 d1(x, y) = |x1 − y1| + |x2 − y2| 与最大值度量 d∞(x, y) = max(|x1 − y1|, |x2 − y2|) 同样是同一个平面上的度量。在任意集合上，离散度量——当 x ≠ y 时 d(x, y) = 1，当 x = y 时为 0——也悄然满足全部四条公理。让我们证明离散度量满足三角不等式，这里唯一有实质内容的公理。
Claim: the discrete metric d satisfies d(x, z) <= d(x, y) + d(y, z).
Recall d takes only the values 0 and 1.
Case 1: x = z.
Then d(x, z) = 0, and the right side is >= 0,
so 0 <= d(x, y) + d(y, z) holds trivially.
Case 2: x != z.
Then d(x, z) = 1. We must show d(x, y) + d(y, z) >= 1.
The point y cannot equal BOTH x and z (since x != z),
so at least one of x != y or y != z holds.
Whichever it is contributes a 1 to the right side, hence
d(x, y) + d(y, z) >= 1 = d(x, z).
Both cases hold, so the triangle inequality holds. QED