勒贝格外测度与卡拉泰奥多里准则

用区间覆盖一个集合

区间 (a,b) 的大小显然是 b − a。要测量任意集合 E ⊆ ℝ，就用一族可数开区间覆盖它，并把它们的长度相加；再取最高效的那种覆盖。形式地，勒贝格外测度 为 m*(E) = inf { Σ (b_k − a_k) : E ⊆ ⋃ (a_k, b_k) }，即对 E 的所有可数区间覆盖取下确界。

这个 m* 对 ℝ 的 每一个 子集都有定义，这是个实在的优点。它是单调的（更大的集合需要更大的覆盖）且可数次可加（把各覆盖拼接起来）。它在区间上也给出正确答案：m*([a,b]) = b − a。其中 m*([a,b]) ≥ b − a 的证明用到紧致性——把覆盖经 海涅–博雷尔 约化为有限子覆盖——这是此处唯一真正非平凡的计算。

卡拉泰奥多里的分割检验

卡拉泰奥多里的精彩之处，是用一个集合如何“分割”所有其他集合来定义可测性。称 E 是（卡拉泰奥多里意义下的）[[measurable-set|可测集]]，若它干净地切开每个测试集 A：对所有 A ⊆ ℝ 有 m*(A) = m*(A ∩ E) + m*(A ∩ E^c)。卡拉泰奥多里准则 要求 E 把每个集合的外测度按可加方式划分——E 内部分加上 E 外部分必须恰好拼回整体。

其中一个不等号是自动成立的：次可加性已给出对任意 E、A 有 m*(A) ≤ m*(A ∩ E) + m*(A ∩ E^c)。故可测性实质上只是那条反向不等式 m*(A) ≥ m*(A ∩ E) + m*(A ∩ E^c)。这种不对称使验证比看上去容易——你永远只需检验 ≥ 这一方向。

Claim: every set N with m*(N) = 0 is Caratheodory-measurable.

Let A be any test set. We must show
      m*(A) >= m*(A and N) + m*(A and N^c).     (the only direction needed)

Step 1 (monotonicity).  A and N is a subset of N, so
      m*(A and N) <= m*(N) = 0,   hence  m*(A and N) = 0.

Step 2 (monotonicity again).  A and N^c is a subset of A, so
      m*(A and N^c) <= m*(A).

Step 3 (add).
      m*(A and N) + m*(A and N^c) = 0 + m*(A and N^c) <= m*(A).

That is exactly the >= inequality. Combined with automatic subadditivity:
      m*(A) = m*(A and N) + m*(A and N^c).
So N is measurable, and m(N) = m*(N) = 0.                 QED

这条准则给我们带来什么

卡拉泰奥多里定理随即道出回报：可测集全体构成一个 sigma-代数，而 m* 限制其上是一个真正的、可数可加的 测度——即 勒贝格测度 m。人们验证它对补封闭（定义在 E 与 E^c 上明显对称），对可数并封闭（细致的归纳加一个极限论证），而可加性正是从分割条件本身自然落出。