我们被允许测量哪些集合？
测度无法给实数轴的 每一个 子集都赋予大小（我们很快会证明这一点）。因此我们先固定一族“被允许的”集合，要求它对我们关心的运算封闭。集合 X 上的一个 sigma-代数 是 X 的子集所构成的族 M，满足三条公理：(1) X ∈ M；(2) 若 A ∈ M，则其补集 X\A ∈ M；(3) 若 A_1, A_2, … 是 M 中的 可数 序列，则其并集 ⋃A_n ∈ M。
由这三条我们可以免费得到更多。空集 ∅ = X\X 属于 M。有限并是可数并的特例。再由德摩根律，可数 交 也属于 M，因为 ⋂A_n = X\⋃(X\A_n)。所以 sigma-代数恰是对补运算与可数并都稳定的集族——从而对一套大小理论所需的全部簿记运算都稳定。
测度是什么
给定 X 上的 sigma-代数 M，一个 测度 是函数 μ : M → [0, ∞]（取值于 扩充实数，故允许 ∞），满足两条公理。其一，μ(∅) = 0。其二，[[countable-additivity|可数可加性]]：若 A_1, A_2, … 是 M 中两两不交的集合，则 μ(⋃A_n) = Σ μ(A_n)。可数可加性是整台引擎：正是它让极限与无穷过程能优雅地与大小相互作用。
有两条推论立刻成立，我们应当证明它们，因为它们无处不在。单调性：若 A ⊆ B，则 μ(A) ≤ μ(B)。以及可数 次可加性：即使 A_n 相互重叠，也有 μ(⋃A_n) ≤ Σ μ(A_n)。证明是简短的“化为不交”的论证。
MONOTONICITY. Suppose A subset B, both in M.
Write B = A union (B \ A), a DISJOINT union (A and B\A share no point).
Both A and B\A lie in M (sigma-algebra closed under complement/intersection).
By finite additivity (a special case of countable additivity, padding with empties):
mu(B) = mu(A) + mu(B \ A).
Since mu(B \ A) >= 0, we get mu(A) <= mu(B). QED
COUNTABLE SUBADDITIVITY. Given A_1, A_2, ... in M (possibly overlapping).
Disjointify: set
B_1 = A_1,
B_n = A_n \ (A_1 union ... union A_{n-1}) for n >= 2.
Then the B_n are pairwise disjoint, B_n subset A_n, and union B_n = union A_n.
By countable additivity and monotonicity (B_n subset A_n):
mu(union A_n) = mu(union B_n) = sum mu(B_n) <= sum mu(A_n). QED实数轴上最小的自然 sigma-代数
在实数轴上有一个无法回避的典范 sigma-代数。取所有开区间，作出包含它们的 最小 sigma-代数——即所有包含开集的 sigma-代数之交。这就是 波莱尔 sigma-代数，其成员是 波莱尔集。它们包含每个开集、每个闭集、每个可数集，以及一切可由这些经可数次并、交、补构造出的集合。