一个黎曼积分处理不了的函数
回忆 黎曼积分 的工作方式：我们把定义域切成小区间，在每一小段上对函数作上、下估计，然后看 上达布和 与 下达布和 能否被挤到一起。对连续函数它运行得很完美；对于振荡过于剧烈的函数，它会彻底失败。
经典的反例是 狄利克雷函数 D：在有理数处取 1，在无理数处取 0。无论子区间多么小，其中总同时含有有理数与无理数，因此 D 的上确界为 1、下确界为 0。上和恒为 1，下和恒为 0，二者永不相遇。根据 黎曼判别准则，D 不是黎曼可积的——然而从直觉上看它的“面积”本应为 0，因为有理数只是一个微不足道的、可数 的散点。
极限与积分拒绝交换
更深层的缺陷出现在取极限时。把 [0,1] 中的有理数排成 q_1, q_2, q_3, …，令 f_n 在前 n 个有理数上取 1、其余处取 0。每个 f_n 除有限多个点外皆为零，因此每个 f_n 都是 黎曼可积的，积分为 0。但 f_n 逐点 收敛到狄利克雷函数 D，而 D 根本不可积。可积函数的极限未必可积——这套理论对我们最想取的那类极限并不封闭。
Setup: list rationals in [0,1] as q_1, q_2, q_3, ...
f_n(x) = 1 if x in {q_1, ..., q_n}
= 0 otherwise
Each f_n is 0 except at n points, hence Riemann integrable:
integral_0^1 f_n = 0 (for every n)
Pointwise limit:
for x rational : x = q_k for some k, so f_n(x) = 1 once n >= k -> 1
for x irrational: f_n(x) = 0 for all n -> 0
Thus f_n -> D pointwise, where D = Dirichlet function.
Now compare:
lim_n integral_0^1 f_n = lim_n 0 = 0 (exists)
integral_0^1 ( lim_n f_n ) = integral_0^1 D = DOES NOT EXIST (Riemann)
Conclusion: under Riemann's definition we cannot even ASK whether
lim integral = integral lim ,
because the right-hand side is undefined. The limit escaped the theory.这种 极限交换 问题绝非奇技淫巧——它恰恰是分析、概率和偏微分方程中反复需要用到的。我们想要稳健的定理：“若 f_n → f 且 f_n 不太狂野，则 ∫f_n → ∫f。”黎曼积分只有在 一致收敛 这类很强的附加假设下才给出这种定理；而 勒贝格理论 将在远为温和的条件下给出它们。
策略转变：切分值域，测量集合
黎曼切分的是 定义域（x 轴）的区间。勒贝格的想法是改为切分 值域（y 轴）：问“在哪些 x 处函数值介于 0.3 与 0.4 之间？”，再去称量这一组 x。要做到这一点，我们必须能给集合 {x : 0.3 ≤ f(x) ≤ 0.4} 赋予一个大小——一个 测度——而这样的集合可能远比区间复杂。