符号测度
(X, M) 上的 符号测度 ν 是可数可加的，但允许取值于 (−∞, +∞]（或 [−∞, +∞)），且 ν(∅) = 0。典型例子是 ν(E) = ∫_E g dμ，其中 g 是变号的 可积函数。Hahn 分解把 X 拆为正集 P 与负集 N，Jordan 分解把 ν = ν⁺ − ν⁻ 写成两个分别居于 P、N 上的真正（非负）测度 之差。
绝对连续性与密度
测度 ν 关于 μ 绝对连续，记作 ν ≪ μ，若每个 μ 零测集也是 ν 零测集：μ(E) = 0 ⇒ ν(E) = 0。直观上 ν 看不见 μ 忽略的任何东西。Radon–Nikodym 定理 说，对 σ 有限测度，这等价于 ν 由密度给出：存在非负可测 g 使对一切 E 有 ν(E) = ∫_E g dμ。该 g 是 Radon–Nikodym 导数 dν/dμ，在 μ 几乎处处 相等意义下唯一。
Easy direction: density ⇒ absolute continuity.
Suppose ν(E) = ∫_E g dμ with g ≥ 0 measurable.
Let E satisfy μ(E) = 0.
Then the integrand g·1_E is 0 μ-almost everywhere,
since it can be nonzero only on E, a μ-null set. Hence
ν(E) = ∫_E g dμ = ∫ g·1_E dμ = 0.
So μ(E) = 0 ⇒ ν(E) = 0, i.e. ν ≪ μ. ∎
Uniqueness of the density.
If ∫_E g₁ dμ = ∫_E g₂ dμ for all E, take
E = { g₁ > g₂ }. Then ∫_E (g₁ − g₂) dμ = 0
with integrand ≥ 0, forcing μ(E) = 0; symmetrically μ{g₂ > g₁}=0.
Thus g₁ = g₂ μ-a.e. ∎依测度收敛与依范数收敛
序列 fₙ → f 依测度收敛，若对每个 ε > 0 有 μ{ |fₙ − f| > ε } → 0。这确实弱于 Lᵖ 范数 收敛：范数收敛蕴含依测度收敛（由 Chebyshev），但反之不然。下面的行波例子展示了各种收敛如何成立而其余失败。
Chebyshev: norm convergence ⇒ convergence in measure.
For ε > 0, on the set A = { |fₙ − f| > ε } we have |fₙ−f|ᵖ > εᵖ, so
εᵖ · μ(A) ≤ ∫_A |fₙ−f|ᵖ dμ ≤ ‖fₙ − f‖ₚᵖ.
Thus μ{ |fₙ−f| > ε } ≤ ‖fₙ − f‖ₚᵖ / εᵖ → 0.
Converse fails — the 'sliding bump' on [0,1] (Lebesgue):
enumerate dyadic intervals I = [j/2ᵏ, (j+1)/2ᵏ] in order of length,
and let fₙ = 1_{Iₙ}. The bump width → 0, so for 0 < ε < 1:
μ{ fₙ > ε } = length(Iₙ) → 0 (converges in measure to 0),
yet ‖fₙ‖ₚ = length(Iₙ)^(1/p) → 0 here too — refine instead with
gₙ = 2^{k/p} · 1_{Iₙ}. Then ‖gₙ‖ₚ = 1 for all n (no norm limit),
while still gₙ → 0 in measure. So in measure ⇏ in norm. ∎