乘积测度与 Fubini–Tonelli

构造乘积测度

从两个 σ 有限的测度空间 (X, A, μ) 与 (Y, B, ν) 出发。X × Y 上的乘积 σ 代数 A ⊗ B 由可测矩形 A × B（A ∈ A，B ∈ B）生成。乘积测度 μ × ν 是 A ⊗ B 上唯一一个把每个矩形赋予其预期面积的测度，即 (μ × ν)(A × B) = μ(A) · ν(B)。σ 有限性正是使该测度唯一的条件。

先 Tonelli 后 Fubini

合并的 Fubini–Tonelli 定理分两半。Tonelli：若 f ≥ 0 是 A ⊗ B 可测的，则两个累次积分与二重积分全部相等——无需可积性假设，其值只是可能为 +∞。Fubini（本来的 Fubini 定理）：若 f 对 μ × ν 可积，则同样三个积分相等且有限。标准做法是先对 |f| 用 Tonelli，以许可对 f 用 Fubini。

Statement (σ-finite μ, ν; f measurable on X×Y).

Tonelli (f ≥ 0):
    ∫_{X×Y} f d(μ×ν)
      = ∫_X ( ∫_Y f(x,y) dν(y) ) dμ(x)
      = ∫_Y ( ∫_X f(x,y) dμ(x) ) dν(y),
    where every expression lies in [0, +∞].

Fubini (f integrable, i.e. ∫|f| d(μ×ν) < ∞):
    the same three quantities are equal AND finite;
    moreover  y ↦ f(x,y) is in L¹(ν) for μ-a.e. x,
    and  x ↦ ∫ f(x,y) dν(y) is in L¹(μ).

The usual workflow:
  1. Apply Tonelli to |f| ≥ 0; check ∫∫ |f| dν dμ < ∞.
  2. That finiteness is exactly the Fubini hypothesis.
  3. Now swap the order of integration for f freely.

Tonelli 无可积性假设，Fubini 有——用 Tonelli 检验 |f| 来确认它。

为何假设不可商量

人们总想对任意函数交换积分次序。别这样。这是经典反例：一个不可积的函数，其两个累次积分都存在却不相等。教训是：通过 Tonelli 做的可积性检验是承重的，而非官僚程序。

Counterexample on [0,1] × [0,1] with Lebesgue measure.
Let  f(x,y) = (x² − y²) / (x² + y²)²   (and f(0,0) := 0).

Inner integral over y, then x:
    ∫₀¹ ( ∫₀¹ f dy ) dx = ∫₀¹ [ 1/(1+x²) ] dx = π/4.

Inner integral over x, then y (by the x↔y antisymmetry):
    ∫₀¹ ( ∫₀¹ f dx ) dy = − π/4.

The two iterated integrals are π/4 and −π/4: NOT equal.
No contradiction with Fubini, because
    ∫∫ |f| dx dy = ∞,
so f is NOT integrable and Fubini does not apply.
Tonelli on |f| would have caught this immediately. ∎

π/4 ≠ −π/4：当 ∫∫|f| = ∞ 时次序有关。