这里的完备性是什么意思
Lᵖ 中的序列 (fₙ) 依范数 Cauchy，是指当 n, m → ∞ 时 ‖fₙ − fₘ‖ₚ → 0。Riesz–Fischer 定理 说每个这样的序列都有极限 f ∈ Lᵖ 使 ‖fₙ − f‖ₚ → 0。换言之 Lᵖ 是 完备 的赋范空间——一个 Banach 空间。没有它，逼近的极限可能漏出空间之外，Lᵖ 上的分析将崩溃。
证明，逐步进行
- 抽取一个快速子列。从 Cauchy 序列中取 n₁ < n₂ < …，使 ‖f_{n_{k+1}} − f_{n_k}‖ₚ ≤ 2^(−k)。记 g_k = f_{n_{k+1}} − f_{n_k}，则 Σ ‖g_k‖ₚ ≤ Σ 2^(−k) = 1 有限。
- 构造控制函数。令 G = |f_{n_1}| + Σ |g_k|。由 Minkowski 与单调收敛，‖G‖ₚ ≤ ‖f_{n_1}‖ₚ + Σ ‖g_k‖ₚ < ∞，故 G ∈ Lᵖ，特别地 G(x) 几乎处处有限。
- 得到逐点极限。在 G(x) < ∞ 处，级数 f_{n_1}(x) + Σ g_k(x) 绝对收敛，其部分和裂项为 f_{n_k}(x)。记其极限为 f(x)。于是 f_{n_k} → f 几乎处处成立，且 |f| ≤ G，故 f ∈ Lᵖ。
- 升格为范数收敛。因 |f_{n_k} − f|ᵖ ≤ (2G)ᵖ ∈ L¹ 且 f_{n_k} → f 几乎处处，控制收敛定理给出 ‖f_{n_k} − f‖ₚ → 0。最后，子列收敛的 Cauchy 序列必收敛，故 ‖fₙ − f‖ₚ → 0。
Why the subsequence pins down the whole sequence.
Given ε > 0, Cauchy gives N with ‖fₙ − fₘ‖ₚ < ε/2 for n, m ≥ N.
We also have ‖f_{n_k} − f‖ₚ → 0, so pick k with n_k ≥ N and
‖f_{n_k} − f‖ₚ < ε/2.
Then for every n ≥ N, by Minkowski (the triangle inequality):
‖fₙ − f‖ₚ ≤ ‖fₙ − f_{n_k}‖ₚ + ‖f_{n_k} − f‖ₚ
< ε/2 + ε/2 = ε.
Hence ‖fₙ − f‖ₚ → 0. ∎