定义
固定一个测度空间 (X, M, μ)。对实数 p 满足 1 ≤ p < ∞，空间 Lᵖ(μ) 是 X 上那些使 |f|ᵖ 的积分有限的 可测函数 f 的全体。该积分取 1/p 次幂，就是 f 的 Lᵖ 范数，记作 ‖f‖ₚ = (∫ |f|ᵖ dμ)^(1/p)。因此 f 属于 Lᵖ 当且仅当 ‖f‖ₚ < ∞。
p = 1 的情形回到普通的 可积函数：‖f‖₁ = ∫ |f| dμ。p = 2 的情形给出平方可积函数，是唯一同时是 Hilbert 空间的 Lᵖ。更大的 p 对 |f| 的大值加权更重，因此属于更高的 Lᵖ 是对函数允许长多高的更强要求。
为何要在零测集意义下工作
微妙之处在此。我们希望 ‖·‖ₚ 是真正的 范数，而范数必须满足 ‖f‖ = 0 ⇒ f = 0。但 ∫ |f|ᵖ = 0 只能迫使 f 几乎处处 为 0，而非处处为 0——一个在单点取 1、别处取 0 的函数其 Lᵖ 范数为零却不是零函数。因此原始的 ‖·‖ₚ 只是半范数。
补救办法是：当两个函数几乎处处相等时宣布它们等价，并把这个 等价类 当作 Lᵖ 的真正对象。于是 ‖f‖ₚ = 0 意味着 f 的类是零类，那些点质量反例随之消失。从此 Lᵖ 的元素是函数的等价类，尽管我们仍像写单个函数那样书写它。
Claim: on Lᵖ (classes mod a.e. equality), ‖f‖ₚ = 0 iff f = 0 in Lᵖ.
(⇐) If f is the zero class, pick the representative f ≡ 0.
Then ∫ |0|ᵖ dμ = 0, so ‖f‖ₚ = 0.
(⇒) Suppose ‖f‖ₚ = 0, i.e. ∫ |f|ᵖ dμ = 0.
Let A = { x : |f(x)| > 0 }, and A_n = { x : |f(x)| > 1/n }.
On A_n we have |f|ᵖ > (1/n)ᵖ, so
0 = ∫ |f|ᵖ dμ ≥ ∫_{A_n} |f|ᵖ dμ ≥ (1/n)ᵖ · μ(A_n).
Hence μ(A_n) = 0 for every n.
Since A = ∪_n A_n is a countable union of null sets,
μ(A) ≤ Σ μ(A_n) = 0.
So f = 0 almost everywhere, i.e. f is the zero class. ∎