一致连续性

一个 δ 统御全局

普通连续性允许 δ 依赖于点 a。一致连续性禁止这种依赖：f 在集合 S 上一致连续，是指对每个 ε > 0 都存在一个 δ > 0（对整个集合都有效），使得对所有 x, y 属于 S，|x - y| < δ 蕴含 |f(x) - f(y)| < ε。改变纯粹在于量词的顺序——δ 在 x 和 y 之前选定，而非之后。

Claim: f(x) = x^2 is NOT uniformly continuous on [0, infinity).
  Fix epsilon = 1. We show NO single delta works.
  Take the pair  x_n = n + 1/n,  y_n = n.
    |x_n - y_n| = 1/n -> 0   (so eventually < any delta),
  but
    |f(x_n) - f(y_n)| = (n + 1/n)^2 - n^2 = 2 + 1/n^2 > 2 > 1 = epsilon.
  So points get arbitrarily close while their images stay > 1 apart.
  No delta can force the images within epsilon = 1.  Hence not uniformly continuous.

x^2 处处连续，却在半直线上不一致连续：斜率无界地增长。

连续性何时免费升级

在有界闭区间上这种区别消失了：在 [a, b] 上连续的函数在那里自动一致连续。这有时称为海涅–康托尔定理，本质上是一个关于紧性的陈述——由海涅–博雷尔定理，该区间是紧的。反证法的证明以与极值定理相同的方式使用波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理。

Theorem (Heine-Cantor): f continuous on compact [a,b] => f uniformly continuous on [a,b].
Proof (contradiction):
  Suppose not. Then for some epsilon > 0, for every n, there are points
     x_n, y_n in [a,b]  with  |x_n - y_n| < 1/n   but   |f(x_n) - f(y_n)| >= epsilon.
  By Bolzano-Weierstrass, pass to a subsequence x_{n_k} -> p in [a,b].
  Since |x_{n_k} - y_{n_k}| < 1/n_k -> 0,  also  y_{n_k} -> p.
  By continuity at p:  f(x_{n_k}) -> f(p)  and  f(y_{n_k}) -> f(p),
     so  |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| -> 0.
  But that quantity is >= epsilon for all k -- contradiction.  QED

紧性弥合了鸿沟：在 [a,b] 上连续等同于在那里一致连续。

一致连续性的一个干净充分条件是利普希茨连续性：若存在常数 K 使得对所有 x, y 有 |f(x) - f(y)| <= K|x - y|，那么只需取 δ = ε/K，一致连续的定义立刻得到满足。每个利普希茨函数都一致连续；反之则不成立（[0, 1] 上的 sqrt(x) 一致连续但不是利普希茨的，因为它的斜率在 0 处爆炸）。这些反例精确地刻画了连续、一致连续、利普希茨这三个概念如何严格地层层包含。