介值定理
介值定理（IVT）说：若 f 在 [a, b] 上连续，且 y 介于 f(a) 与 f(b) 之间，则存在 [a, b] 中的某个 c 使 f(c) = y。区间上的连续函数不能跳过任何一个值。这是“你不可能不触及中间每一点就穿过一条路”这一看似显然的断言的严格版本——但它暗中依赖于实数的完备性。
Theorem (IVT, root form): f continuous on [a,b], f(a) < 0 < f(b) => exists c with f(c)=0.
Proof sketch (via supremum):
Let S = { x in [a,b] : f(x) < 0 }.
S is nonempty (a is in S) and bounded above by b, so by completeness
c = sup(S) exists in [a,b].
We show f(c) = 0 by ruling out the other cases:
If f(c) < 0: by continuity f stays < 0 on a little interval around c,
so some x slightly > c is still in S -> contradicts c = sup S.
If f(c) > 0: by continuity f stays > 0 just left of c,
so a smaller number is also an upper bound -> contradicts c = sup S.
Both fail, hence f(c) = 0. QED有界性与极值
有界性定理说：在有界闭区间 [a, b] 上连续的函数在该区间上有界。极值定理（EVT）更进一步：这样的函数实际上能取到它的最大值和最小值——存在 [a, b] 中的点 p, q，使得对所有 x 有 f(p) <= f(x) <= f(q)。标准证明用到波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理。
- 有界性：若 f 在上方无界，取 [a,b] 中的 x_n 使 f(x_n) > n。由波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理，存在子序列 x_{n_k} -> p 属于 [a,b]。连续性迫使 f(x_{n_k}) -> f(p)（一个有限数）——但 f(x_{n_k}) > n_k -> 无穷，矛盾。所以 f 有界。
- 现在令 M = f 在 [a,b] 上的上确界，由于 f 有界，它由完备性而存在。选取 x_n 使 f(x_n) -> M（由上确界的定义可行）。
- 由波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理抽取 x_{n_k} -> q 属于 [a,b]。连续性给出 f(q) = lim f(x_{n_k}) = M。于是上确界在 q 处达到——它是真正的最大值。对 -f 应用同样的论证即得最小值。