定义
函数 f 在 a 处连续，如果三件事成立：f(a) 有定义，当 x -> a 时 f(x) 的极限存在，并且两者相等。把它们合在一起得到一个自足的 ε–δ 陈述：f 在 a 处连续，当对每个 ε > 0 都存在 δ > 0，使得（定义域内）|x - a| < δ 蕴含 |f(x) - f(a)| < ε。
集合 S 上的连续函数是指在 S 的每一点都连续的函数。根据连续性的序列判别法（也称海涅连续性），f 在 a 处连续当且仅当 x_n -> a 蕴含 f(x_n) -> f(a)。这种序列形式往往是证明连续函数的和、积、复合仍连续的最快途径，因为它继承了序列极限的代数运算。
连续性如何失效
当 f 在 a 处不连续时，我们就有一个间断点，并且有一套整齐的分类。可去间断点是指双侧极限存在，但与 f(a) 不符（或填补了缺失的 f(a)）——你可以通过重新定义一个值来“修补”它。跳跃间断点是指两个单侧极限都存在但不相等。其余情况（某一侧根本没有有限极限）都是本质间断点。
Removable: g(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) for x != 1, undefined at 1.
For x != 1, g(x) = x + 1, so lim_{x->1} g(x) = 2.
The limit exists; just set g(1) = 2 to make it continuous.
Jump: h(x) = floor(x) at x = 2.
lim_{x->2-} h = 1, lim_{x->2+} h = 2. Both exist but differ -> jump of size 1.
Essential: sin(1/x) at 0.
Neither one-sided limit exists (oscillation) -> not removable, not a jump.诊断方法始终一样：计算两个单侧极限，并把它们彼此比较、再与 f(a) 比较。这正是上一篇关于单侧极限和序列极限的机制在此处发挥作用的原因。