从一侧逼近
有时函数在一个点的两侧表现不同。单侧极限限制了逼近的方向。右极限，记作当 x -> a+ 时 f(x) 的极限，只要求对区间 (a, a + δ) 内的 x 满足 ε–δ 条件；左极限 x -> a- 则使用 (a - δ, a)。具体地说，当对每个 ε > 0 都存在 δ > 0，使得只要 a < x < a + δ 就有 |f(x) - L+| < ε 时，右极限就是 L+。
Let f(x) = x / |x| for x != 0.
For x > 0: f(x) = x/x = 1, so lim_{x->0+} f(x) = 1.
For x < 0: f(x) = x/(-x) = -1, so lim_{x->0-} f(x) = -1.
Since 1 != -1, the two-sided limit lim_{x->0} f(x) does NOT exist.
(The function has a jump at 0.)序列判别法
函数世界与序列世界之间有一座桥。序列判别法说：当 x -> a 时 f(x) 的极限等于 L，当且仅当对定义域中每个满足 x_n != a 且 x_n -> a 的序列 (x_n)，其像序列 f(x_n) -> L（通常意义下的序列极限）。一个关于连续逼近的陈述变成了一个关于所有序列的陈述。
这对于反驳极限非常有用：你只需找到一个满足 x_n -> a 但 f(x_n) 不收敛到 L 的序列，或者两个像趋于不同值的序列。经典的病态例子是 0 附近的 f(x) = sin(1/x)。
Claim: lim_{x->0} sin(1/x) does not exist.
Take two sequences both ->0:
a_n = 1/(n*pi) => sin(1/a_n) = sin(n*pi) = 0, so f(a_n) -> 0.
b_n = 1/(2*pi*n + pi/2) => sin(1/b_n) = sin(2*pi*n+pi/2) = 1, so f(b_n) -> 1.
Two sequences -> 0 give image limits 0 and 1.
By the sequential criterion, lim_{x->0} sin(1/x) cannot exist. QED