从图像到承诺
非正式地说，函数 f 在点 a 处的函数极限是当 x 接近 a 时 f(x) 所接近的那个值 L。麻烦在于“接近”这个词。接近到什么程度才够？ε–δ 定义（函数）的巧妙之处在于把它变成一个有必胜策略的博弈。质疑者给出一个容差 ε > 0，要求 f(x) 落在 L 的 ε 范围内。你必须用一个间隔 δ > 0 回应，使得每一个与 a 相距小于 δ（但不等于 a）的 x 都被迫进入那个容差范围。
形式上：当对每个 ε > 0 都存在 δ > 0，使得对所有 x，只要 0 < |x - a| < δ 就有 |f(x) - L| < ε 时，我们说当 x -> a 时 f(x) 的极限等于 L。注意 0 < |x - a| 排除了 x = a 本身：极限从不问在 a 处发生什么，只问在 a 附近发生什么。这就是为什么 a 必须是定义域的聚点——a 的每个邻域都必须包含定义域中的其他点，否则该条件就是空洞的。
亲手证明一个极限
标准套路是先草稿，后证明。在草稿中，你从目标 |f(x) - L| < ε 出发，反推 |x - a| 必须有多小。然后在正式证明里，你先宣布 δ，再正向验证。让我们证明当 x -> 2 时 (3x + 1) 的极限等于 7。
Claim: lim_{x->2} (3x + 1) = 7.
Scratch work (find delta):
|f(x) - L| = |(3x + 1) - 7| = |3x - 6| = 3|x - 2|.
We want 3|x - 2| < epsilon, i.e. |x - 2| < epsilon/3.
So delta = epsilon/3 should work.
Proof:
Let epsilon > 0 be given. Choose delta = epsilon/3 > 0.
Suppose 0 < |x - 2| < delta. Then
|f(x) - 7| = |3x - 6| = 3|x - 2| < 3*delta = 3*(epsilon/3) = epsilon.
Hence |f(x) - 7| < epsilon, as required. QED对于像 x^2 这样的非线性函数，斜率会变化，所以 δ 既依赖于 a 也依赖于 ε。一个常用技巧是先限制 δ <= 1 来界定那个“讨厌”的因子，然后取 δ = min(1, 某式/ε)。整套机制都依赖于作为距离的绝对值及其不等式；掌握这些操作就是初等实分析中大半的功夫。