量词及其否定

对所有，存在

[[universal-quantifier|全称量词]] ∀ 意为「对每个」，[[existential-quantifier|存在量词]] ∃ 意为「至少存在一个」。「∀ε > 0, ε > 0」为真；「∃x, x² = 2」在实数上为真，在有理数上为假。要证明 ∀x P(x)，你必须处理一个任意的 x——不能挑一个方便的。要证明 ∃x P(x)，你只需给出一个见证即可。

次序极其重要。「∀x ∃y (y > x)」说每个数都有比它更大的——真。交换它们：「∃y ∀x (y > x)」说有一个固定的 y 大过每个 x——假，没有最大的实数。读分析学中的定义时，要像追踪括号一样追踪量词的次序：后出现的量词可能依赖于在它之前选定的变量。

否定规则

这里是包办一切的那一条规则。要构造[[negation-of-a-quantifier|否定]]，把 ¬ 向内推：∀ 变 ∃，∃ 变 ∀，内部命题被否定。¬(∀x P(x)) 即 ∃x ¬P(x)：「并非人人有性质 P」意思是「有人缺它」。¬(∃x P(x)) 即 ∀x ¬P(x)：「无人有 P」意思是「人人缺它」。从左到右逐个应用，每经过一个量词就翻转它。

Negating the definition of "a_n -> L" mechanically.

Converges:
   for all eps > 0,  there exists N,  for all n >= N,  |a_n - L| < eps
   (∀ eps)          (∃ N)            (∀ n)            ( ... )

Flip every quantifier and negate the inside.
The inside |a_n - L| < eps negates to |a_n - L| >= eps.

Does NOT converge to L:
   there exists eps > 0,  for all N,  there exists n >= N,  |a_n - L| >= eps
   (∃ eps)               (∀ N)       (∃ n)                 ( ... )

In words: some fixed gap eps that the terms keep exceeding,
no matter how far out (n >= N) you look. That is exactly
what it means for the sequence to stay away from L.

Check on a_n = (-1)^n with L = 1: take eps = 1.
For any N, the next odd n >= N gives a_n = -1, so |a_n - 1| = 2 >= 1.
The negation holds, so (-1)^n does not converge to 1.

否定纯粹是机械操作：在前缀上翻转 ∀↔∃，再否定核心不等式。

注意否定给了你什么：一个数列不断违反的特定坏 ε。这就是为什么[[divergence|发散]]证明与[[counterexample|反例]]总以「取 ε = …」开头。一个 ∀ 命题的否定是一个 ∃ 命题，而 ∃ 命题靠给出一个明确的见证来证明。

蕴含中的量词

还有一块。要否定一个蕴含，记住 P ⇒ Q 等同于 ¬P ∨ Q，故 ¬(P ⇒ Q) 是 P ∧ ¬Q——前提成立而结论不成立。结合量词规则，你现在能否定分析学中的任何命题。[[arbitrarily-small|任意小]]这个说法其实是「∀ε > 0」，所以它的否定是「存在一个我们无法越过的 ε > 0」——一个正的间隙。