什么是命题？
命题是一句要么真要么假的话——绝不同时为真为假，也绝不既不真也不假。「2 是偶数」是命题（真）。「数列 1/n 收敛」是命题（真）。「x + 1」不是命题：在你说明 x 是什么之前，它没有真值。分析学完全由命题构筑，因此第一项技能就是分辨哪些句子带有真值，哪些只是表达式。
由简单命题，我们用连接词构造复合命题。你需要的四个是：且（P ∧ Q，仅当两者都成立时为真）、或（P ∨ Q，至少一个成立时为真——数学家总是指相容的「或」）、非（¬P，翻转真值），以及蕴含（P ⇒ Q）。前三个很直观，第四个值得单独一节。
若 P 则 Q
蕴含式 P ⇒ Q 是每条定理的主力。它只在一种情形为假：P 真而 Q 假。其余三种情形它都为真。令人意外的是，只要 P 为假，P ⇒ Q 就为真——我们称之为空虚为真。「若 3 是偶数，则我是月亮」是真命题，因为它的前提从不触发。定理只在其前提成立时才作出承诺。
Truth table for P => Q P Q P => Q true true true true false false <-- the ONLY false row false true true (vacuously true) false false true (vacuously true) Read it as a promise: "if P happens, I guarantee Q." The promise is broken only when P happens and Q fails. If P never happens, the promise was never tested -> still kept. Example: "If a_n -> L and a_n -> M, then L = M" (limits are unique). When a sequence has no limit, the hypothesis P is false, so the statement holds vacuously for that sequence.
每个蕴含都伴随三个亲属。P ⇒ Q 的[[converse|逆命题]]是 Q ⇒ P——这是一个真正不同的命题，自身可真可假。[[contrapositive|逆否命题]]是 ¬Q ⇒ ¬P，它与原命题逻辑等价：证明其一即证明另一。而否命题 ¬P ⇒ ¬Q 与逆命题等价。把一个命题与它的逆命题混淆，是初学者证明中最常见的错误。
当且仅当
当 P ⇒ Q 与 Q ⇒ P 同时成立时，我们写 P ⇔ Q，读作「P 当且仅当 Q」（常缩写为 *iff*）。此时 P 与 Q 互为充分必要条件：P 是 Q 的充分条件（P 保证 Q），也是必要条件（没有 P 就没有 Q）。分析学中的定义暗中都是 iff 命题——「数列有界当且仅当存在某个 M 界住它所有的项」。