勒贝格对黎曼：同样的答案，更多的函数

一致：两者都适用时值相同

新积分确实是一种扩展，而非竞争者。若 f 在 [a,b] 上有界且黎曼可积，则 f 也勒贝格可积，且两个积分相等。你在微积分里学到的东西无一被推翻：x^2 在 [0,1] 上的勒贝格积分仍是 1/3。证明用上下方的阶梯函数（达布和）把 f 夹住，对这些阶梯施用收敛定理，再读出两端极限的相等。

确切判据：不连续点为零测集

测度论甚至回答了黎曼只能含糊以对的老问题：到底哪些有界函数是黎曼可积的？黎曼可积的勒贝格判据干净利落：[a,b] 上的有界函数黎曼可积当且仅当其不连续点集为零测集。并不要求处处连续——只要几乎处处连续即可。

Lebesgue criterion:  f bounded on [a,b].
   f is Riemann integrable  <=>  { x : f is discontinuous at x } has measure 0.

Apply it:
  Dirichlet D:  discontinuous at EVERY point of [0,1]
                discontinuity set = [0,1], measure 1 =/= 0
                => NOT Riemann integrable.   (matches Guide 1)

  Thomae's function t(x):  t(p/q)=1/q (lowest terms), t(irrational)=0
                continuous at every irrational, discontinuous on Q
                discontinuity set = Q cap [0,1], measure 0
                => IS Riemann integrable, and integral = 0.

  A step function with finitely many jumps:
                discontinuity set is finite, measure 0
                => Riemann integrable.

分界线就是零测度：Dirichlet（处处不连续）失败；Thomae（仅在有理点不连续）通过。

我们的所得：完备性

最深刻的回报是结构性的。勒贝格可积函数构成的空间 L1 是完备的：每个柯西列（在距离 integral |f_n - f_m| 之下）都收敛到一个仍属于 L1 的极限。这就是 Riesz–Fischer 定理，更广义地说就是 Lp 空间的完备性。与之类比的黎曼可积函数空间则不完备——柯西列可能收敛到落在该类之外的函数。勒贝格理论正是其自然的完备化。

这与把有理数完备化为实数是同一个升级故事：只有当极限始终留在空间内时，分析的机器才真正运转。完备性正是使 L1 与 L2 成为傅里叶分析、概率论与微分方程求解的恰当归宿的原因。第 2–3 篇的分层积分与第 4 篇的收敛定理，正是为你换来这份完备性的东西——这就是勒贝格积分值得搭建的全部理由。