可积函数：拆成正部与负部

正部与负部

目前积分只对非负函数有定义。要处理既正又负的函数 f，就把它拆开。定义 f^+ = max(f, 0)、f^- = max(-f, 0)。两者都非负且可测，并能干净地重组出 f：f = f^+ - f^-，且 |f| = f^+ + f^-。

f^+(x) = max(f(x), 0)        f^-(x) = max(-f(x), 0)

Both >= 0, both measurable.   Then for every x:
    f(x)  = f^+(x) - f^-(x)
    |f(x)|= f^+(x) + f^-(x)

Example.  f(x) = sin x on [0, 2pi]:
    f^+ = sin x on [0, pi],   0 on [pi, 2pi]
    f^- = 0 on [0, pi],       -sin x on [pi, 2pi]
    integral f^+ = 2,   integral f^- = 2
    integral f = integral f^+ - integral f^- = 2 - 2 = 0.

可积的定义，以及 L1

当 integral f^+ 与 integral f^- 都有限时，我们称 f [[integrable-function|可积]]，并令 integral f = integral f^+ - integral f^-。判定此事的唯一干净标准是：f 可积当且仅当 |f| 的积分有限。所有这样的 f 构成 L1 空间——即可和函数。要把两片相减，必须避免无意义的 “+∞ 减 +∞”；要求 integral |f| < ∞ 正是排除这一点的条件。

线性性，以及忽略零测集

在 L1 上，积分终于是线性的：对实数 a,b，有 integral(af + bg) = a·integral f + b·integral g。积分的线性性通过化归到非负情形、并重排正负部来证明（用到单调收敛所保证的可加性）。而且积分尊重 “至多差一零测集” 的相等：若 f 与 g 几乎处处相等——即除一个零测集外处处相等——则 integral f = integral g。零测集对积分而言根本是隐形的。

一个有用的推论，积分的三角不等式：对每个 L1 中的 f，|integral f| <= integral |f|。把 integral f 写作 integral f^+ - integral f^-，再与 integral f^+ + integral f^- = integral |f| 比较即得。在整个收敛理论中我们都将依赖这个界。