切分图像下方面积的两种方式
黎曼积分把定义域切成细长的竖直条：将区间 [a,b] 分割，在每条上取一个高度，再把宽乘以高相加。这对连续函数极为奏效，却很脆弱。入场的代价是函数不能振荡得太剧烈——当条变窄时，条内的高度必须趋于稳定。
勒贝格积分把图横过来看：转而把值域（y 轴）切成细薄的水平层。对位于高度 y 附近的某层，问的不是 “这条有多宽？” 而是 “f(x) 落在 y 附近的那些 x 构成的集合有多大？” 而这个 “大小” 正由 勒贝格测度提供。随后我们把（层值）乘以（该值处集合的测度）相加。
黎曼无法积分的那个函数
设 D 是 [0,1] 上的 Dirichlet 函数：x 为有理数时 D(x)=1，x 为无理数时 D(x)=0。在任意子区间内，无论多么微小，有理数与无理数都同时存在，故 D 在其上的上确界为 1、下确界为 0。每个达布上和都等于 1，每个达布下和都等于 0；二者永不相遇。因此 D 不是黎曼可积的。
勒贝格用一行作答。有理数可数，故其测度为零；无理数则填满 [0,1] 直至那个零测集。逐层来看：值 1 所在的集合测度为 0，值 0 所在的集合测度为 1，于是积分为 1·0 + 0·1 = 0。这个函数太 “小” 了（它仅在一个零测集上与常值 0 不同），其积分干脆就是 0。
Dirichlet D on [0,1]: D(x) = 1 (x rational), 0 (x irrational)
Riemann attempt:
any partition P, any subinterval I:
sup of D on I = 1 (I contains a rational)
inf of D on I = 0 (I contains an irrational)
Upper sum U(D,P) = sum (sup)*length = 1*(1) = 1 for EVERY P
Lower sum L(D,P) = sum (inf)*length = 0*(1) = 0 for EVERY P
upper integral = 1, lower integral = 0, 1 =/= 0 -> NOT Riemann integrable
Lebesgue view (slice the range):
set where D = 1 is Q cap [0,1], countable -> measure 0
set where D = 0 is the irrationals, measure 1
integral = 1 * measure{D=1} + 0 * measure{D=0}
= 1 * 0 + 0 * 1
= 0简单函数：我们用来砌墙的砖
要严格地搭建逐层积分，需要干净的基本构件。特征函数 1_A 在可测集 A 上取值 1，在其余处取 0。简单函数是它们的有限组合：s = c_1·1_{A_1} + … + c_n·1_{A_n}，只取有限多个值，每个值落在一个可测集上。简单函数就是那种离散的、阶梯状的函数，其积分一目了然：把每一片的（值）乘以（测度）相加即可。
下面是让整套理论得以运转的关键结构性事实：每个非负[[measurable-function|可测函数]]都是简单函数的递增逐点极限。 因此，只要我们会对简单函数积分、又会妥善地取极限，就能对每个可测函数积分。接下来的四篇指南正是逐层做这件事。