卷积、逼近恒等，与广义函数的初步

卷积：空间中模糊，频率中相乘

卷积 (f * g)(x) = 对 ℝ 积分 f(t) g(x − t) dt 是一个滑动加权平均：让 g 在 f 上滑动并累积重叠。它的魔力是卷积定理 —— 把纠缠的卷积运算化为傅里叶侧的纯乘法。

Convolution theorem:   (f * g)-hat (xi) = f-hat(xi) * g-hat(xi).

Proof (f, g in L^1, so Fubini applies):
   (f * g)-hat(xi) = integral_x [ integral_t f(t) g(x - t) dt ] e^{-2pi i x xi} dx.

Swap order (Fubini -- absolute integrability of f(t) g(x-t) over R^2):
                = integral_t f(t) [ integral_x g(x - t) e^{-2pi i x xi} dx ] dt.

Inner integral: substitute u = x - t, so e^{-2pi i x xi} = e^{-2pi i t xi} e^{-2pi i u xi}:
   integral_x g(x-t) e^{-2pi i x xi} dx = e^{-2pi i t xi} * g-hat(xi).

Put it back:
                = [ integral_t f(t) e^{-2pi i t xi} dt ] * g-hat(xi) = f-hat(xi) * g-hat(xi).   QED

Readout:  convolving = blurring in x  <-->  pointwise multiplying spectra in xi.
Low-pass filtering, smoothing, and PDE solution operators are all 'multiply f-hat by something'.

在傅里叶变换下卷积变为乘积（富比尼 + 一次平移）。

逼近恒等：一个没有取值的 δ

在函数之间卷积没有真正的单位元：不存在使所有 f 都满足 f * g = f 的 g。替代品是逼近恒等 {φ_ε}：非负、质量为 1、当 ε → 0 时在 0 处聚集。于是 φ_ε * f → f。我们已遇见两个 —— 圆上的费耶尔核与直线上的高斯。每个都把 f 略加磨光，然后越来越少。

与光滑的 φ_ε 卷积得到光滑函数 φ_ε * f —— 求导落在 φ_ε 上，而它要多光滑有多光滑（磨光）。
由于 φ_ε * f → f，光滑函数是 L¹ 与 L² 的稠密子集 —— 这是黎曼–勒贝格与普朗歇尔背后的技术骨架。
当 ε → 0，族 {φ_ε} 想要收敛到单一对象 δ，使得恰好 δ * f = f —— 但没有函数能做到。

广义函数：用作用方式重新定义「函数」

极限 δ 不是函数 —— 没有规则 x ↦ δ(x) 有意义。出路是不再问 δ 在某点是什么，而只问它对测试函数做什么。广义函数是光滑且急速衰减的测试函数上的连续线性泛函；δ 就是那个读出取值者：⟨δ, φ⟩ = φ(0)。普通函数通过 g ↦ (φ ↦ ∫ g φ) 嵌入，故广义函数确实扩大了函数概念。