从系数到频谱
在圆上，频率是整数，函数对每个整数携带一个系数。现在让周期无限增大。允许的频率越挤越密，直到在极限处填满一个连续统：离散的系数表变成一个关于实频率 ξ 的函数。这个极限对象就是傅里叶变换。
对 ℝ 上的L¹ 函数 f，定义 f̂(ξ) = 对 ℝ 积分 f(x) e^{−2πi x ξ} dx。因 |e^{−2πixξ}| = 1 且 f 可积，积分绝对收敛，故 f̂ 良定且有界：对每个 ξ 有 |f̂(ξ)| ≤ ‖f‖₁。第一个结构事实：f̂ 连续（对参数 ξ 用控制收敛）。
黎曼–勒贝格：高频衰减
黎曼–勒贝格引理说当 |ξ| → ∞ 时 f̂(ξ) → 0：快速振荡把可积函数平均为零。它是贝塞尔那里 c_n → 0 的连续表亲，并由一个干净的平移技巧证得。
Goal: f in L^1(R) => f-hat(xi) -> 0 as |xi| -> infinity.
Step 1 (shift trick). Since e^{-2pi i x xi} = -e^{-2pi i (x + 1/(2 xi)) xi}, substitute u = x + 1/(2 xi):
f-hat(xi) = - integral f(u - 1/(2 xi)) e^{-2pi i u xi} du.
Average this with the original definition:
f-hat(xi) = (1/2) integral [ f(x) - f(x - 1/(2 xi)) ] e^{-2pi i x xi} dx.
Step 2 (estimate). Take absolute values (|e^{...}| = 1):
|f-hat(xi)| <= (1/2) integral | f(x) - f(x - 1/(2 xi)) | dx = (1/2) || f - tau_h f ||_1, h = 1/(2 xi).
Step 3 (continuity of translation in L^1). As xi -> infinity, h -> 0, and translation is
continuous in L^1: || f - tau_h f ||_1 -> 0. (True for compactly supported continuous g
by uniform continuity; extend to all of L^1 by density of such g.)
Therefore |f-hat(xi)| -> 0. QED反演与普朗歇尔
能从 f̂ 重建 f 吗？能 —— 傅里叶反演：若 f 与 f̂ 都可积，则在每个连续点 f(x) = 对 ℝ 积分 f̂(ξ) e^{+2πi x ξ} dξ。诚实的证明并非简单地把 f̂ 代回（那个二重积分未必收敛）；而是插入高斯阻尼 e^{−εξ²} 使一切绝对收敛，把结果认作与高斯逼近恒等的卷积，再令 ε → 0。与费耶尔同样的机器，只是换了核。