级数能回来吗？贝塞尔、帕塞瓦尔与均方收敛

部分和使均方误差最小

在追问级数是否收敛之前，先问一个更柔和的几何问题：在所有 N 次三角多项式中，哪一个在均方意义下最接近 f？在希尔伯特空间中答案是被迫定下的：子空间中最近的点是正交投影，其坐标正是傅里叶系数。因此部分和 S_N f 就是最佳的 N 次逼近，没有例外。

Use the orthonormal tones e_n (the cos/sin scaled to unit norm) and write c_n = ⟨f, e_n⟩.
Let S_N = sum_{n=0}^{N} c_n e_n  be the partial sum, and let T = sum_{n=0}^{N} d_n e_n be ANY degree-N trig polynomial.

Compute the squared error, using ⟨e_m, e_n⟩ = 0 for m != n and = 1 for m = n (Pythagoras):

   ‖f - T‖^2 = ‖f‖^2 - 2 Re ⟨f, T⟩ + ‖T‖^2
             = ‖f‖^2 - 2 Re sum d_n^* c_n + sum |d_n|^2          (expand the inner products)
             = ‖f‖^2 - sum |c_n|^2 + sum |c_n - d_n|^2.            (complete the square)

The first two pieces do not depend on the choice of T.  The last piece sum |c_n - d_n|^2 >= 0,
and is ZERO exactly when d_n = c_n for all n.

=> ‖f - T‖^2 is minimized precisely by T = S_N.   The Fourier partial sum is the best L^2 fit.   QED

配方法：傅里叶部分和是唯一的最佳均方逼近。

贝塞尔不等式：能量有界

在上面的恒等式中取 T = S_N；由于 ‖f − S_N‖² ≥ 0，对每个 N 都有部分能量 sum_{n≤N} |c_n|² ≤ ‖f‖²。令 N → ∞ 即得贝塞尔不等式：sum |c_n|² ≤ ‖f‖²。两份免费的礼物：系数级数收敛，且（由n 次项判别法）c_n → 0 —— 这是黎曼–勒贝格引理的先声。

帕塞瓦尔：等号与完备性

当三角系完备时 —— 即没有非零函数与每个纯音都正交时 —— 贝塞尔不等式升级为等号，即帕塞瓦尔等式 sum |c_n|² = ‖f‖²。等价地，‖f − S_N‖ → 0：级数按均方收敛于 f。对每个平方可积的 f 都成立，而里斯–费舍尔定理给出逆命题：每个平方可和的系数列都是某个 L² 函数的傅里叶级数。