交换量词的次序
逐点收敛把对所有 x 放在存在 N 之外：对每个 x，有某个 N。一致收敛则把“对所有 x”挪到 N 选定之后。其定义为：对每个 epsilon > 0 存在 N，使得对一切 n >= N 与一切 x ∈ E 都有 |f_n(x) - f(x)| < epsilon。一个 N 必须同时服务整个定义域。
用上确界范数重新打包
“对所有 x，|f_n(x) - f(x)| < epsilon”恰好是对最坏点的一个界。定义上确界范数 ||g|| = sup over x in E of |g(x)|，即函数所达的最大高度（用上确界，故即便最大值不被取到也有定义）。于是一致收敛就是简洁的陈述 ||f_n - f|| -> 0：一个我们早已理解其趋零的数列。
- 先逐点计算 lim f_n(x)，得到候选极限 f。
- 构造误差函数 e_n(x) = f_n(x) - f(x)。
- 计算 M_n = sup over x of |e_n(x)|——常借助微积分，找出误差最大处。
- 当且仅当 M_n -> 0 时收敛是一致的。若 M_n 不趋于 0，则只是逐点收敛。
演算：不肯消失的凸包
比较两个在 [0,1] 上有相同逐点极限 0 的序列。上述配方给出一行判定。第一个是上一篇的 x^n；第二个是一个移动的尖峰。估计 M_n 决定每种情形。
Sequence A: f_n(x) = x^n on [0,1). Pointwise limit f = 0.
M_n = sup_{0<=x<1} |x^n - 0| = sup x^n = 1 (approached as x -> 1).
M_n = 1 does NOT go to 0 => NOT uniform. (matches Guide 1)
Sequence B: g_n(x) = n x (1 - x)^n on [0,1]. Pointwise limit g = 0
(for fixed x in (0,1], (1-x)^n -> 0 beats the factor n; g_n(0)=0).
Maximize: g_n'(x) = 0 gives the peak near x = 1/(n+1),
height g_n(1/(n+1)) = n * (1/(n+1)) * (n/(n+1))^n
~ (n/(n+1)) * e^{-1} -> 1/e ~ 0.368.
M_n -> 1/e != 0 => NOT uniform: a bump of fixed height 1/e
slides toward 0 but never flattens.
Sequence C: h_n(x) = x/n on [0,1]. Pointwise limit 0.
M_n = sup |x/n| = 1/n -> 0 => UNIFORM.