从一条数轴到函数的空间

极限唯一需要的，就是距离

回头看 ε–N 定义。它真正用到的实数特征，只有 |a_n − L|——两点之间的*距离*。它从不在乎这些点是不是数字。于是把唯一要紧的那样东西抽象出来：度量是一个函数 d(x, y)，它度量距离并遵守三条诚实的规则——当且仅当两点重合时为零、对称、且满足三角不等式 d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)。一个带有这种距离的集合，就是一个度量空间。

The epsilon-N definition, with |.| replaced by a general distance d:

  x_n -> x  in a metric space  means:
     for every eps > 0  there is  N  such that
     n > N   ==>   d(x_n, x) < eps.

Word-for-word the same game as 1/n -> 0. Only |a_n - L| became d(x_n, x).

Three spaces, three distances, ONE definition of convergence:

  the real line R:    d(x, y) = |x - y|
  the plane R^2:      d((a,b),(c,d)) = sqrt((a-c)^2 + (b-d)^2)
  functions on [0,1]: d(f, g) = max over x of |f(x) - g(x)|     <- sup metric

In the THIRD line a single "point" of the space is an ENTIRE function,
and two functions are "close" when their graphs stay within eps
everywhere at once. Convergence there IS uniform convergence.

当函数成为点

第三种距离就是那一跃。[0, 1] 上的连续函数空间，配上*上确界距离* d(f, g) = max |f(x) − g(x)|，是一个度量空间，它的每个点都是一个函数。在这个空间里的收敛，恰恰就是一致收敛——f_n 的整张图被一次性挤进 f 周围一条 ε 宽的带子里。一瞬间，一个*函数*数列就只是一个点列，而你在 1/n 上练出的每一种直觉都原封不动地适用。

如果这个空间还有与距离相容的加法和数乘，它就是一个赋范向量空间；如果它此外还完备——没有任何函数的柯西数列指向一个洞——它就是一个巴拿赫空间。上一篇的完备性故事在更高一层重演：正如实数填平有理数的缝隙，*函数空间的*完备性保证一列挤作一团的函数真的收敛到空间内的某个函数。

同一个想法，一路向上

1. 实数轴。 一根轴，距离是 |x − y|。极限、连续性、导数、积分——整个第一门课的实分析都住在这里。
2. 欧氏空间 R^n。 一下子好几根轴；距离由勾股定理给出。现在你有了多个变量、梯度和多元微积分——但极限读起来一模一样。
3. 一般的[[metric-space|度量空间]]。 扔掉坐标，只保留一个遵守三角不等式的距离 d。开集、完备性、紧性、以及不动点定理，全都住在这种纯结构的层面上。
4. 一个函数空间。 现在每个点都是一整个函数；以上确界距离构成的连续函数巴拿赫空间，是通往泛函分析、傅里叶级数和现代微分方程理论的门户。