一个看起来对、其实不对的论断
这里有一个让人觉得显然为真的命题：「如果一列函数中的每一个都连续，且这列函数收敛到某个极限函数，那么极限函数也连续。」连续性理应熬过取极限的过程——能出什么错呢？然而它是错的。一个具体的例子就能把它推倒，而看着这场推倒，就学到了严谨的全部精神。
Claim: f_n continuous for every n, and f_n -> f, imply f is continuous.
Counterexample on [0, 1]. Let f_n(x) = x^n.
Each f_n is a polynomial -> continuous everywhere. Good.
Find the limit f(x) = lim_{n->inf} f_n(x), point by point:
if 0 <= x < 1 : x^n -> 0 (a number below 1, raised to ever
higher powers, shrinks to 0)
if x = 1 : 1^n = 1 -> 1
So the limit function is
f(x) = 0 for 0 <= x < 1
f(1) = 1
Is f continuous at x = 1?
Approach 1 from the left: f(x) = 0, so the left-hand limit is 0.
But f(1) = 1. 0 is NOT 1.
-> f has a JUMP at x = 1. It is DISCONTINUOUS.
Every f_n was continuous; the limit f is not. The claim is FALSE.注意这个例子做了什么。那个论断是一个「对所有」型的命题——*对每一个*这样的函数列，极限都连续。要摧毁一个「对所有」的论断，你只需要一个它失败的情形。这一个情形就是反例，它是数学里最经济的武器：一个例子胜过任何分量的「看起来很合理」。
为什么图像是证据，不是证明
一张图只能在有限分辨率下显示有限多个像素。它能暗示某种规律，优秀的数学家也时刻倚靠图像来找出该证明什么。但图像无法排除比一个像素更精细的行为，无法排除无穷远处的行为，也无法排除某个孤立特殊点上的行为。x^n 那个例子，把它的跳跃藏在 x=1 附近一道无限薄的缝里，任何有限的图都分辨不出来。
证明到底必须做到什么
证明不是修辞，也不是某种高度的自信；它是一条有限长的步骤链，每一步都从定义和先前已证的事实推出，从而在*每一种*被允许的情形下一次性逼出结论。「看起来合理」是关于一个例子的感觉；证明是关于所有例子的保证。这就是为什么一个反例能击败一千个支持的例子，而一千个支持的例子永远凑不成一个证明。
好消息在另一面。我们那个坏掉的论断其实差一点点就对了；修法是补上缺失的假设。把「收敛」加强为*一致*收敛，连续函数的极限就真的连续（一致极限定理）。分析学不只会说不——它会找出那个让定理成立的精确附加条件，这正是充分必要条件所讲的事。