给出两个答案的微积分
两个世纪以来，微积分对行星、热量、桥梁都给出了正确答案，所以很少有人担心它的地基。但到了 1800 年代初，裂缝已经响得无法忽视。最令人不安的一个：一个无穷求和，仅仅把各项重新排列，结果就会改变。加法本应与顺序无关——可这里它却有关。我们处理无穷的方式里，有某种东西被默认了，却从未被证明。
The alternating harmonic series, summed in order: S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... = ln 2 (about 0.693) Now REORDER the SAME terms: one positive, then two negatives. 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 + 1/5 - 1/10 - 1/12 + ... Group each triple: (1 - 1/2) - 1/4 + (1/3 - 1/6) - 1/8 + (1/5 - 1/10) - 1/12 + ... = 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 + 1/10 - 1/12 + ... = (1/2)(1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...) = (1/2) ln 2 (about 0.347) SAME terms, SAME values, just a different order -> HALF the sum. No step above is illegal in finite arithmetic. So WHICH step silently used a property of infinity that we never justified?
教训不是加法坏掉了，而是「把无穷多个东西加起来」与「把有限个东西加起来」不是同一种运算，而我们一直把它们当作一回事。后来的重排定理精确解释了：何时重排是安全的（仅当级数绝对收敛），何时是灾难性的（对仅仅条件收敛的级数）。但要陈述那条定理，我们首先得给「无穷求和」一个精确的意义。
无穷小：有用，却没有定义
牛顿和莱布尼茨用无穷小 dx 来计算导数：一个小到最后可以丢掉、却又不为零到中途可以拿来作除数的量。贝克莱主教讥讽它们是「逝去之量的幽灵」——他说得有道理。一个既是零又不是零的数，是个矛盾。计算给出了正确答案，可那个理由只是一种手法上的障眼法。
拒绝守规矩的函数
最后的震撼是：图像会骗人。人人都「知道」一条连续曲线除了少数几个尖角之外必定光滑。然后魏尔斯特拉斯造出了一个处处连续、却在每一个点都有尖角的函数——一条你不抬笔就能画出来、却处处没有切线的曲线。你画不出它；直觉无处落脚。这是一个病态例子，它的职责正是击碎一个我们从未核实过的信念。
一旦出现哪怕一个反例，一个含糊的信念就死了，只有谨慎的定义才能存活。分析学正是从清理这些震撼的残局中成长起来的：它给无穷、极限、连续性、乃至实数本身一个精确到任何重排、任何幽灵、任何病态曲线都溜不过去的定义。这条学习路径的其余部分，就一块一块诚实地砌起这些定义。