三大原理：开映射、闭图像、一致有界

开映射与闭图像

设 X 与 Y 为巴拿赫空间，T: X -> Y 是有界满射算子。开映射定理说 T 把开集映为开集。引人注目的推论是有界逆定理：若 T 还是双射，则 T⁻¹ 自动有界。巴拿赫空间之间连续线性双射的可逆性，免费附赠逆的连续性——没有完备性这绝对不成立。

闭图像定理是它的孪生。T 的图像是 { (x, Tx) }。对巴拿赫空间之间的线性算子，T 有界当且仅当其图像闭。实践中这把证连续的工作减半：无须估计 ||Tx||，只需检验：每当 x_n -> x 且 Tx_n -> z，极限就逼出 z = Tx。你可以先假定 Tx_n 已收敛。

一致有界

一致有界原理（巴拿赫–施泰因豪斯）收束此三联。设 (T_α) 是从巴拿赫空间 X 到赋范空间 Y 的一族有界算子。若对每个固定 x，集合 { ||T_α x|| } 有界，则算子范数 { ||T_α|| } 关于 α 一致有界。逐点控制免费升格为一致控制。其证明同样是完备空间 X 内的贝尔纲论证。

Application: a pointwise limit of operators is bounded.
Let X, Y be Banach, T_n ∈ B(X, Y), and suppose
    T x := lim_n T_n x  exists for every x.
Claim: T is a bounded linear operator.

Linearity. Limits respect linear combinations:
   T(a x + b y) = lim (a T_n x + b T_n y) = a T x + b T y.

Boundedness. For each fixed x, (T_n x) converges, hence is
bounded, so sup_n ||T_n x|| < ∞. By uniform boundedness,
   M := sup_n ||T_n|| < ∞.
Then for every x:
   ||T x|| = lim_n ||T_n x|| ≤ sup_n ||T_n|| · ||x|| ≤ M ||x||.
So ||T|| ≤ M < ∞: T is bounded.   ∎

Note the leap: each T_n having finite norm is obvious, but
that the *common* bound M is finite — uniform over n — is
exactly what Banach–Steinhaus supplies.

巴拿赫–施泰因豪斯实战：仅凭逐点收敛便得到一致范数界，故极限算子有界。

这三大原理，连同第 4 篇的哈恩–巴拿赫，构成线性泛函分析的经典支柱。注意整条主线反复出现的教训：完备性正是把柔软的逐点或代数假设转化为坚硬的定量界的东西。这种从存在到估计的转化，正是巴拿赫空间成为正确框架的深层缘由。