对偶与里斯定理
X 上的线性泛函是线性映射 f: X -> 标量；当 |f(x)| ≤ C ||x|| 时它有界。所有有界线性泛函的集合，配以算子范数，就是对偶空间 X*。由于标量完备，X* 永远是巴拿赫空间。对偶就是我们安放“测量仪器”的地方，每次用一个数来探测 X。
在希尔伯特空间中，对偶被彻底搞清。里斯表示定理说：H 上每个有界泛函 f 都是 f(x) = ⟨x, y⟩，其中 y 在 H 中唯一，且 ||f|| = ||y||。于是希尔伯特空间与其自身对偶等距同构：没有新空间可发现。证明纯粹是投影几何。
Riesz representation (sketch with the geometry shown).
Let f ∈ H* be nonzero. Let M = ker f = { x : f(x) = 0 }.
M is a closed subspace (f is continuous), and M ≠ H.
Step 1. By the projection theorem M⊥ is nonzero; pick
z ∈ M⊥ with f(z) = 1 (rescale).
Step 2. For any x, the vector x - f(x) z lies in M because
f(x - f(x) z) = f(x) - f(x)·f(z) = f(x) - f(x) = 0.
Since z ⊥ M:
⟨x - f(x) z, z⟩ = 0
⇒ ⟨x, z⟩ = f(x) ⟨z, z⟩ = f(x) ||z||^2
⇒ f(x) = ⟨x, z / ||z||^2⟩.
So y = z / ||z||^2 represents f: f(x) = ⟨x, y⟩.
Step 3 (norm). By Cauchy–Schwarz |f(x)| ≤ ||y|| ||x||, and
f(y) = ⟨y, y⟩ = ||y||^2 = ||y|| · ||y||,
so the bound is attained: ||f|| = ||y||. ∎哈恩–巴拿赫：泛函总是足够多
在希尔伯特空间之外，我们没有内积来制造泛函，故对偶是否丰富并不显然。哈恩–巴拿赫定理解决了这点：定义在赋范空间 X 的子空间 M 上的有界泛函，可以在不增大范数的前提下延拓到整个 X。延拓很少唯一，但总是存在，而这个存在性正是整个理论的引擎。
- 赋范泛函。 对任意非零 x，存在 f ∈ X*，||f|| = 1 且 f(x) = ||x||。（先在过 x 的直线上定义 f，再用哈恩–巴拿赫延拓。）
- 点的分离。 若 x ≠ y，则上述作用在 x − y 上的泛函区分它们，故 X* 分离 X 的各点。
- 范数还原。 ||x|| = sup{ |f(x)| : f ∈ X*, ||f|| ≤ 1 }。对偶恰好看到范数。