从长度到距离
泛函分析研究大到能装下函数的向量空间，其中一个“点”可以是一整段信号或一个解。要在那里做分析，就需要一个“大小”的概念。实或复向量空间 V 上的一个范数是函数 ||·||: V -> [0, ∞)，满足三条公理：||x|| = 0 当且仅当 x = 0（正定性），||λx|| = |λ| ||x||（齐次性），以及 ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||（三角不等式）。带有这种范数的空间称为赋范向量空间。
每个范数都通过 d(x, y) = ||x − y|| 诱导一个度量。于是赋范空间自动成为度量空间，所有度量概念——开球、收敛、柯西列——都免费随之而来。多出来的结构是：这个度量是平移不变的，并随标量线性缩放，从而把几何与线性代数紧紧绑在一起。
完备性与巴拿赫空间
数列 (x_n) 称为柯西列，若其各项最终聚拢：对每个 ε > 0，存在 N，使得当 m, n ≥ N 时 ||x_m − x_n|| < ε。赋范空间称为完备，若每个柯西列都收敛到空间中的某点。完备的赋范空间恰是巴拿赫空间——本学科的核心对象。完备性意味着没有遗失的极限，正如实数轴没有空洞。
并非每个赋范空间都完备。经典反例是多项式空间，或 [0, 1] 上的连续函数在 L^1 范数下：某列可能是柯西的，其极限却逃出了空间。把这种空间“完备化”——补上遗失的极限——是分析学者的标准操作，L^p 之类空间正是这样诞生的。
Claim: the sequence space l^1 = { x = (x_1, x_2, ...) : sum |x_k| < ∞ }
with norm ||x||_1 = sum_k |x_k| is complete.
Let (x^(n)) be Cauchy in l^1. Fix ε > 0; choose N with
||x^(m) - x^(n)||_1 < ε for all m, n ≥ N. (*)
Step 1 (find the candidate limit, coordinatewise).
For each fixed coordinate k,
|x^(m)_k - x^(n)_k| ≤ ||x^(m) - x^(n)||_1 < ε,
so (x^(n)_k)_n is Cauchy in the scalars (which are complete).
Let x_k = lim_n x^(n)_k. Set x = (x_1, x_2, ...).
Step 2 (control finitely many coordinates, then let K grow).
From (*), for every finite K and all m, n ≥ N:
sum_{k=1}^{K} |x^(m)_k - x^(n)_k| < ε.
Let m -> ∞ (each term converges):
sum_{k=1}^{K} |x_k - x^(n)_k| ≤ ε for all n ≥ N, all K.
Let K -> ∞:
||x - x^(n)||_1 ≤ ε for all n ≥ N. (**)
Step 3 (the limit lives in l^1).
x = x^(N) + (x - x^(N)); the first is in l^1, and by (**)
the second has norm ≤ ε < ∞, so x ∈ l^1.
Step 4 (conclude). (**) says x^(n) -> x in ||·||_1. So every
Cauchy sequence converges in l^1: l^1 is a Banach space. ∎