从斜率到极限
取一个函数 f 和它定义域中的一点 a。对附近的点 x，差商 (f(x) − f(a)) / (x − a) 就是过两个图像点 (a, f(a)) 与 (x, f(a)) 的直线（割线）的斜率。对每个 x ≠ a，它都是一个诚实可算的数。当 x 被挤向 a 时，这个斜率所趋近的值就是导数。
形式地说，若差商当 x → a 时的极限存在，则称 f 在 a 处可微，并把这个数记作 f′(a)。微分的全部内容都藏在这一个极限里；后面的一切都是它的推论。令 h = x − a，同样的定义就读作 (f(a + h) − f(a)) / h 当 h → 0 时的极限，计算时往往更方便。
用定义直接算一个导数
我们不预设任何法则，直接用极限计算 f(x) = x² 在任意点 a 处的导数，让你看清机器是怎么运转的。
Claim: f(x) = x^2 is differentiable at every a, with f'(a) = 2a.
Difference quotient (h ≠ 0):
(f(a+h) - f(a)) / h
= ((a+h)^2 - a^2) / h
= (a^2 + 2 a h + h^2 - a^2) / h
= (2 a h + h^2) / h
= 2a + h (valid because h ≠ 0, so we may cancel)
Now take the limit as h -> 0:
lim_{h->0} (2a + h) = 2a.
The limit exists, so f is differentiable at a and f'(a) = 2a. ∎
Sanity check at a = 3: f'(3) = 6, and the secant slopes 2(3)+h = 6+h
clearly approach 6 as h shrinks (h=0.1 -> 6.1, h=0.01 -> 6.01).可微迫使连续
本学科的第一个真正定理：若 f 在 a 处可微，则 f 在 a 处连续。这就是可微蕴含连续。证明是一行代数技巧加上极限的代数运算。
Theorem: if f is differentiable at a, then f is continuous at a.
Proof. For x ≠ a write the identity
f(x) - f(a) = ( (f(x) - f(a)) / (x - a) ) · (x - a).
As x -> a:
first factor -> f'(a) (this is exactly the derivative)
second factor -> 0 (since x - a -> 0)
By the algebra of limits, the product of the limits is the limit:
lim_{x->a} ( f(x) - f(a) ) = f'(a) · 0 = 0,
hence lim_{x->a} f(x) = f(a). That is continuity at a. ∎