全纯即解析
这里有一个实变量没有的结果：每个 全纯 函数都是 解析的。若 f 在圆盘 |z − a| < R 上全纯，则在那里 f 等于它自己的 泰勒级数，f(z) = Σ c_n (z − a)^n，系数 c_n = f^(n)(a) / n! 由 柯西公式 给出。所以全纯——一个一阶导数条件——竟暗指无穷可微且可用 幂级数 表示。收敛半径 一直延伸到最近的 奇点。
三类奇点
孤立 [[singularity|奇点]] 是这样一点 a：f 在去心圆盘 0 < |z − a| < R 上全纯，但在 a 处不全纯。恰有三种类型。可去：f 在 a 附近保持有界，可重新定义使之全纯（如 sin(z)/z 在 0 处）。m 阶 [[pole|极点]]：f 像 1/(z − a)^m 那样爆破（如 1/(z − a)^3）。[[essential-singularity|本性奇点]]：比任何极点都狂野（如 e^(1/z) 在 0 处），由 Casorati–Weierstrass 定理，其取值会任意接近每个复数。
洛朗级数
要绕奇点展开，就允许 负幂。[[laurent-series|洛朗级数]] 是 f(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} c_n (z − a)^n，在圆环 r < |z − a| < R 上成立。负幂部分是“主部”；它正是用来探测并分类奇点的。若主部为空，奇点可去；若主部止于 −m，你得到一个 m 阶极点；若主部无尽，奇点为本性奇点。那一个系数 c_{−1} 便是 留数，下一篇的主角。
Laurent expansion of f(z) = e^z / z^3 around 0.
Start from the Taylor series of e^z (valid for all z):
e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + z^4/4! + ...
Divide every term by z^3:
f(z) = e^z / z^3
= 1/z^3 + 1/z^2 + (1/2)*1/z + 1/3! + (1/4!) z + ...
Read off the structure on the annulus 0 < |z| < infinity:
principal part = 1/z^3 + 1/z^2 + (1/2)/z (stops at -3)
=> 0 is a POLE of order 3.
The residue is the coefficient of 1/z: c_{-1} = 1/2.
Classification check with e^{1/z} (contrast):
e^{1/z} = 1 + 1/z + 1/(2! z^2) + 1/(3! z^3) + ...
principal part has INFINITELY many terms => 0 is ESSENTIAL.