全纯函数与围道积分

全纯：在开集上可导

若函数在开集 U 的每一点都复可导，就称它在 U 上 [[holomorphic-function|全纯]]。“开”这个字很关键：单点可导几乎无用，但在整个邻域上可导就能引出一连串定理。在整个 C 上全纯的函数称为 [[entire-function|整函数]]——多项式、exp(z)、sin(z)、cos(z) 都是整函数。

沿曲线积分

[[contour-integral|围道积分]] 是把 f 沿一条路径积分。用 z = γ(t)（t 属于 [a, b]）参数化光滑曲线 γ，然后定义 ∫_γ f(z) dz = ∫_a^b f(γ(t)) γ'(t) dt——这就是一个关于实变量 t 的复值函数的普通积分。因子 γ'(t) 就是链式法则给出的“dz”。只要保持方向不变，积分值与参数化方式无关。

Workhorse computation:  integrate z^n around the unit circle.

Let gamma(t) = e^{i t},  t in [0, 2*pi].  Then gamma'(t) = i e^{i t}.

  integral_gamma z^n dz
    = integral_0^{2pi} (e^{i t})^n * (i e^{i t}) dt
    = i * integral_0^{2pi} e^{i (n+1) t} dt.

Case n = -1:
    = i * integral_0^{2pi} e^{0} dt = i * (2*pi) = 2*pi*i.

Case n != -1 (integer):
    integral_0^{2pi} e^{i m t} dt = [ e^{i m t} / (i m) ]_0^{2pi}
      = ( e^{i m 2pi} - 1 ) / (i m) = (1 - 1)/(i m) = 0,   m = n+1 != 0.
    So the integral is 0.

Result:   integral over |z|=1 of z^n dz  =  2*pi*i  if n = -1,  else 0.

唯一非零的结果（n = −1 时为 2πi）正是留数理论的种子。

ML 估计

复分析里几乎每个证明都用到一个界，即 ML 不等式：若在 γ 上 |f(z)| ≤ M，且 γ 长为 L，则 |∫_γ f dz| ≤ M·L。它直接来自积分的三角不等式。正是这一个估计，让我们能通过把界 M 或长度 L 变小来断定积分很小。

ML inequality and its proof sketch.

Claim:  | integral_gamma f(z) dz |  <=  M * L,
        where M = max over gamma of |f|, and L = length(gamma).

Proof.  | integral_a^b f(gamma(t)) gamma'(t) dt |
          <= integral_a^b | f(gamma(t)) | * | gamma'(t) | dt   (triangle ineq. for integrals)
          <= M * integral_a^b | gamma'(t) | dt
          =  M * L,    since integral_a^b |gamma'(t)| dt = arclength = L.   QED

Sample use:  bound integral over |z|=2 of 1/(z^2+1) dz.
  On |z| = 2:  |z^2 + 1| >= |z|^2 - 1 = 4 - 1 = 3,  so |1/(z^2+1)| <= 1/3 = M.
  Length L = 2*pi*2 = 4*pi.
  Hence | integral | <= (1/3)(4*pi) = 4*pi/3.    (a crude but valid bound)

界住被积函数，再乘以长度——搞定。