偏序集与格的两种观点
偏序集是一个集合 P 配一个自反、反对称、传递的关系 ≤。“偏”意味着某些对可能不可比。你一直在用偏序集：按包含排序的子群、环的理想、按整除性排序的自然数。有限偏序集画成哈斯图——元素为顶点，当 y *覆盖* x（x < y 且其间无严格中间元）时画一条向上的边 x — y。
格是这样一个偏序集：每一对 {x, y} 都有最小上界 x ∨ y（并）与最大下界 x ∧ y（交）。这是*序*的观点。还有一个等价的*代数*观点：格是带两个二元运算的代数 (L, ∨, ∧)，满足交换律、结合律、幂等律，以及吸收律 x ∨ (x ∧ y) ≈ x 与 x ∧ (x ∨ y) ≈ x。两种观点互相决定——定义 x ≤ y 为 x ∧ y = x——这恰恰说明了为何格作为等式簇栖身于泛代数之中。
分配 vs. 模
在诸格之中，两条加强的恒等式最为关键。分配格满足 x ∧ (y ∨ z) ≈ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)（或其对偶）。模格满足较弱的律：若 x ≤ z，则 x ∨ (y ∧ z) ≈ (x ∨ y) ∧ z。分配 ⟹ 模，绝不反之。群的子群格一般只在正规时为模——但*正规*子群的格，以及更一般地任何群、环或模的 Con(A)，总是模格。
Two small lattices tell distributive and modular apart -- the classic test.
M3 (the 'diamond'): bottom 0, top 1, three incomparable middles a,b,c.
Hasse: 1
/ | \
a b c
\ | /
0
Modular? YES. Distributive? NO. Check at x=a, y=b, z=c:
a ^ (b v c) = a ^ 1 = a
(a ^ b) v (a ^ c) = 0 v 0 = 0
a =/= 0, so distributivity FAILS.
N5 (the 'pentagon'): 0 < a < c < 1 and 0 < b < 1, with a,c each incomparable to b.
Hasse: 1
/ \
c b
| /
a /
\ /
0
Modular? NO. Take x=a, z=c (a <= c), y=b:
a v (b ^ c) = a v 0 = a
(a v b) ^ c = 1 ^ c = c
a =/= c, so MODULARITY fails.
Theorem (Dedekind/Birkhoff): a lattice is modular iff it has no sublattice
isomorphic to N5; distributive iff it has no sublattice iso to N5 or M3.布尔代数
布尔代数是一个带最顶元 1 与最底元 0 的分配格，其中每个元素 x 都有一个补 ¬x，满足 x ∨ ¬x = 1 与 x ∧ ¬x = 0。启发性例子是幂集 2^S（配 ∪、∩、补）与经典真值的二元代数 {0, 1}。每个有限布尔代数都同构于某个 2^S，因而有 2ⁿ 个元素——不存在恰有 3 个或 5 个元素的布尔代数。
布尔代数同样是一个等式簇（签名 (∨, ∧, ¬, 0, 1)），故全部泛代数机器都适用：子代数、同余、自由布尔代数。n 个生成元上的自由布尔代数，是 n 个输入的全体布尔函数构成的代数——它有 2^(2ⁿ) 个元素，恰与真值表的数目相符。这正是“布尔代数*就是*命题逻辑的代数”的精确含义，也使环路闭合：序论、等式类与自由代数在一个对象中相遇。