定理陈述
称（固定签名下的）一类代数为等式类，如果它恰好是满足某组恒等式 Σ 的全部代数构成的类。称它为簇，如果它对上一篇的 H、S、P 封闭。伯克霍夫定理（1935）断言这两个概念重合：一类代数是等式类当且仅当它是簇。一个方向我们实质上已经完成；深刻之处在于其逆命题。
逆命题为何成立：自由代数挑大梁
设 V 是对 H、S、P 封闭的类。把 Σ 定义为 V 中每个代数都满足的*全部*恒等式。显然 V 的每个成员都满足 Σ。困难在于反向包含：任何满足 Σ 的代数 B 必已属于 V。证明在足够大的生成集 X 上构造自由代数 F_V(X)，把 B 实现为 F_V(X) 的同态像，并恰用那三条封闭性证明 F_V(X) ∈ V。
- 构造 V-自由代数 F = F_V(X)，X 大到足以满射到 B 上。具体地，F 是 V 中诸成员之积的子代数（取遍到 V-代数的所有映射），故 F ∈ SP(V) ⊆ V。
- 选取满射到 B 上的生成元；泛性质把它延拓为满射 F ↠ B。于是 B ∈ H(V) ⊆ V——*前提是*该满射合法，而这正是 Σ 登场之处。
- B 满足 Σ——即在整个 V 中成立的每条恒等式。这保证 B 中成立的关系*至少*包含 F 中被强制的那些，故映射 F ↠ B 是良定义同态。环路就此闭合：B ∈ H(SP(V)) ⊆ V。
The slogan: V = HSP(K) for the variety GENERATED by a class K.
Worked instance. Let K = { Z } as a group (one infinite cyclic group).
Claim: HSP(Z) = the variety of ALL abelian groups.
P(Z): products Z^I are abelian.
S: subgroups of abelian groups are abelian.
H: quotients of abelian groups are abelian -- e.g. Z/nZ in H(Z).
So HSP(Z) is contained in the abelian-group variety.
Conversely every abelian group A is a quotient of a free abelian group
Z^(X) = a direct sum (subalgebra of a product) of copies of Z, so
A in H(S(P(Z))).
Hence HSP(Z) = abelian groups, defined by the single identity
x + y approx y + x (on top of the group identities).
Contrast: the class of FIELDS is NOT a variety.
A product of two fields, e.g. F2 x F2, has the zero-divisor (1,0)(0,1)=(0,0),
so it is not even an integral domain -- P fails. No set of identities can
define fields.它给你什么，又禁止什么
伯克霍夫递给你一个*判定准则*。要证明某类不是等式类，你只需展示一处封闭性失败：一个逃出该类的子代数、商或积。域在积处失败（域之积有零因子）；无挠阿贝尔群在商处失败（Z 无挠但 Z/2Z 有挠）；有限群在无穷积处失败。每个反例都只是一次坐标层面的计算，而非模型论论证。