集合上的自由对象
你其实已经遇到过自由对象，只是没冠以此名：多项式环 R[x] 是 {x} 上的自由交换 R-代数；集合上的自由群是群中的自由对象。泛代数把这些统统打包。固定一个签名与一类代数 K（比如所有群，或所有格）。生成元集合 X 上的自由代数 F_K(X) 是 K 中的一个代数，配一个映射 X → F_K(X)，使得从 X 到 K 中任意 A 的任何映射都*唯一地*延拓为同态 F_K(X) → A。
这就是泛性质：F_K(X) 是 K 中由 X 生成的最一般的代数，除 K 的恒等式强制者外不带任何关系。其构造是具体的。先取变量 X 上所有项构成的项代数 T(X)——这是*绝对*自由代数，不满足任何恒等式。然后对强制 K 全部定义恒等式的最小同余作商。所得即 F_K(X)，其元素是“在可证相等意义下的项”。
Free group on X = {x, y}, written F(x,y).
Elements = reduced words in x, y, x^{-1}, y^{-1} (no adjacent a a^{-1}).
From term algebra to free group:
term: ·( ·(x, inv(x)), y )
group identities force ·(x, inv(x)) approx e and ·(e, y) approx y
so this term collapses to: y
Two terms land in the same class of F(x,y) iff group axioms PROVE them equal.
Universal property in action. To map F(x,y) -> S_3, just choose images:
x |-> (1 2), y |-> (1 2 3)
This extends to a UNIQUE homomorphism phi: F(x,y) -> S_3, with e.g.
phi(x y x^{-1}) = (1 2)(1 2 3)(1 2) = (1 3 2).
Every such choice of two elements of S_3 gives exactly one homomorphism
-- that is precisely what 'free on {x,y}' means.恒等式即自由代数中的相等
下面这一点正是让自由代数成为整套理论引擎的回报。变量 x₁,…,xₙ 中的恒等式 s ≈ t 在 K 类的*每个*代数中成立，当且仅当 s 与 t 指称自由代数 F_K(x₁,…,xₙ) 的同一个元素。在无穷多个代数上检验一条恒等式，归结为在一个代数中的一次相等判定。这正是为何 F_K(X) 有时被称为自由项代数：它是检验等式的泛场所。
类上的三种运算：H、S、P
给定单一签名下的一类代数 K，三个算子生成新的类。H(K) 是 K 成员的全体同态像；S(K) 是全体子代数；P(K) 是全体（可能无穷的）直积。每一个都由一条可手工验证的封闭性事实所支撑：满足某恒等式的代数，其商、其子代数、其积都满足同一恒等式。这三者是下一篇的承重运算。
- H — 若 A 满足 s ≈ t 且 A ↠ B，则 B 满足 s ≈ t：经满射提升到 A 来在 B 中验证该恒等式。
- S — 子代数用同样的运算（限制后）求值项，故 A 中成立的任何恒等式在每个子代数中都成立。
- P — 积中的运算逐坐标作用，故恒等式在 ∏ Aᵢ 中成立当且仅当在每个 Aᵢ 中成立；对 P 的封闭性立得。