一个定义统揽一切
在第一卷里，你一次研究一种结构，证明关于群、环、域的定理。泛代数注意到这些证明常常共享一副骨架，而这副骨架本身可以直接研究。一个代数是一个非空集合 A 连同一族运算，每个运算有固定的元数 n（一个函数 A^n → A）。零元运算（元数为 0）不过是选定的一个常元。运算符号连同其元数的列表称为签名（或类型）。
用这种语言来说，群是签名为 (·, ⁻¹, e)、元数为 (2, 1, 0) 的代数：一个二元乘法、一个一元求逆、一个零元单位。格的签名是 (∨, ∧)，两者皆为二元。环的签名是 (+, ·, −, 0)，元数为 (2, 2, 1, 0)。重点不在于新奇——而在于一旦你固定了签名，子结构、同态与商的概念就被强制确定下来，对于该类型的每一种结构都完全相同。
项与恒等式
给定一个签名与一组变量 X，项是任何由变量与运算符号按元数规则构造出的合式表达式。项是语法；它们组成我们将称为项代数的自由对象。恒等式是两个项之间的形式等式 s ≈ t，而一个代数满足它，是指对变量的每一种取值该等式都成立。结合律 x·(y·z) ≈ (x·y)·z 是一条恒等式；格的吸收律 x ∨ (x ∧ y) ≈ x 也是。
为什么坚持公理必须是恒等式，而不是任意的一阶语句？因为恒等式被我们关心的所有构造保持——子代数、积、同态像。域构成的类*不是*等式类（x ≠ 0 → x·x⁻¹ = 1 用到了蕴含与不等式），这恰恰说明了为何域的子环未必是域，以及为何域的积不是域。由等式公理化的类性质要好得多，刻画它们正是伯克霍夫定理（第 4 篇）。
Signature of a group: F = { · (arity 2), inv (arity 1), e (arity 0) }
Three terms in variables x, y, z:
t1 = ·(x, ·(y, z)) -- usually written x(yz)
t2 = ·(·(x, y), z) -- usually written (xy)z
t3 = ·(x, inv(x)) -- usually written x x^{-1}
Group axioms as identities (s approx t):
associativity: ·(x, ·(y,z)) approx ·(·(x,y), z)
right identity: ·(x, e) approx x
right inverse: ·(x, inv(x)) approx e
Check in A = Z/6Z under addition (so '·' is +, 'inv' is negation, e = 0):
assign x = 5. Then ·(x, inv(x)) = 5 + (-5) = 5 + 1 = 6 = 0 = e. OK
The identity x x^{-1} approx e holds for ALL x in Z/6Z, hence Z/6Z
satisfies it. A single failing assignment would refute the identity.