三个变量与矩阵初探

向下消元，向上回代

三元方程组有三个关于 x、y、z 的方程。策略与你熟悉的消元法相同，只是用两次：把成对的方程组合起来消去一个变量，把三元三方程降为二元两方程。解出这个较小的方程组，再用回代逐级向上，找回被消去的变量。

Solve:   x + y + z = 6      (1)
         2x - y + z = 3      (2)
          x + 2y - z = 2     (3)

Add (1)+(3) to kill z:   2x + 3y = 8     (A)
Add (2)+(3) to kill z:   3x + y  = 5     (B)

From (B): y = 5 - 3x.  Substitute into (A):
   2x + 3(5 - 3x) = 8
   2x + 15 - 9x = 8
   -7x = -7  ->  x = 1
Then y = 5 - 3(1) = 2,  and z = 6 - x - y = 6 - 1 - 2 = 3.

Solution: (1, 2, 3).  Check (2): 2 - 2 + 3 = 3 ✓

把一个变量消两次，解出 2×2 核心，再回代。

增广矩阵：把记账整理干净

反复书写 x、y、z 很浪费——变的只是数字。增广矩阵是一个只装系数和右端常数的矩阵，用一道竖线代替等号。每一行就是一个方程。

高斯消元正是你刚做的消元，只不过作用在行上。允许的操作是初等行变换：交换两行、把某行乘以一个非零数、或把某行的倍数加到另一行。你把矩阵化成阶梯状的零，然后回代。

Same system as a matrix [ coeffs | rhs ]:
   [ 1   1   1 | 6 ]
   [ 2  -1   1 | 3 ]
   [ 1   2  -1 | 2 ]

R2 -> R2 - 2*R1,  R3 -> R3 - R1:
   [ 1   1   1 |  6 ]
   [ 0  -3  -1 | -9 ]
   [ 0   1  -2 | -4 ]

R3 -> 3*R3 + R2  (clear the y-column below):
   [ 1   1   1 |  6 ]
   [ 0  -3  -1 | -9 ]
   [ 0   0  -7 | -21 ]

Last row: -7z = -21 -> z = 3.  Back up: y = 2, x = 1.

行变换把对角线下方化为零；最后一行直接给出 z。