当直线错开或重合：数解的个数

三幅图，三种结果

平面上的两条直线只能有三种情况。它们可以相交一次——一个解。可以平行而永不相遇——无解。或者是同一条直线画了两遍——有无穷多个公共点。这就是二元线性方程组的全部可能。

这套术语描述两个独立的性质。方程组若至少有一个解，就是相容方程组；若没有解，就是不相容方程组。另外，相容方程组若恰有一个解，就是独立方程组；若两个方程描述同一条直线、有无穷多个解，就是相依方程组。

代数如何向你发出信号

你未必能事先看出斜率。求解过程本身会提示这些特殊情形：如果消元把两个变量都消去、留下一个假命题，那就是矛盾——无解。如果留下像 0 = 0 这样的真命题，那就是恒等式——无穷多解。

Inconsistent (no solution):
   x + y = 2
   x + y = 5
Subtract:  0 = -3   <- false, a contradiction.
The lines are parallel; no pair satisfies both.

Dependent (infinitely many):
   x + y = 2
   2x + 2y = 4
The second is just twice the first.
Multiply eq 1 by 2 and subtract:  0 = 0  <- always true.
Every point on x + y = 2 works.

1. 照常尝试消去一个变量。
2. 若得到关于一个变量的普通方程，方程组就是独立的——直接求解。
3. 若两个变量都消失、得到假命题，判定为不相容：无解。
4. 若两个变量都消失、得到真命题，判定为相依：无穷多解。