级数、求和符号与无穷和

从数列到级数

级数是把数列的各项相加得到的结果。前 n 项的和叫第 n 个部分和，记作 Sₙ。所以如果数列是 3, 7, 11, 15，那么 S₄ = 3 + 7 + 11 + 15 = 36。

求和符号（希腊大写字母西格玛，Σ）把冗长的和紧凑地打包起来。Σ 下方是起始编号，上方的数是终止编号，右侧的公式告诉你要加什么。你代入每个编号值，然后把结果加总。

Read and expand a sigma sum:

  sum from k=1 to 4 of (2k + 1)

Substitute k = 1, 2, 3, 4:
  k=1: 2(1)+1 = 3
  k=2: 2(2)+1 = 5
  k=3: 2(3)+1 = 7
  k=4: 2(4)+1 = 9

Add:  3 + 5 + 7 + 9 = 24

求和符号：代入每个编号值，再把结果相加。

部分和公式

对于等差级数有一个漂亮的捷径。把第一项与最后一项配对，第二项与倒数第二项配对，依此类推：每对的和都是 (a₁ + aₙ)。共有 n 项，所以有 n/2 对，给出 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2——首末两项的平均值乘以项数。

Sum 1 + 2 + 3 + ... + 100  (arithmetic, d = 1)

a_1 = 1,  a_n = 100,  n = 100

S_n = n(a_1 + a_n)/2
S_100 = 100(1 + 100)/2
      = 100(101)/2
      = 10100/2
      = 5050

配对技巧：Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 把 100 次加法变成一次计算。

对于等比级数，部分和是 Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，只要公比 r ≠ 1 就成立。例如 2 + 6 + 18 + 54 中 a₁ = 2，r = 3，n = 4，所以 S₄ = 2(1 − 3⁴)/(1 − 3) = 2(1 − 81)/(−2) = 2(−80)/(−2) = 80。

当无穷相加得到有限数

惊喜在这里。如果等比的公比满足 |r| < 1，各项缩小趋于零的速度足够快，以至于无穷等比级数加起来等于一个有限的总和：S = a₁/(1 − r)。看部分和公式——当 |r| < 1 时，rⁿ 那一项随 n 增大而消退为 0，恰好剩下 a₁/(1 − r)。

Infinite series:  1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

a_1 = 1,   r = 1/2   (and |1/2| < 1, so it converges)

S = a_1 / (1 - r)
  = 1 / (1 - 1/2)
  = 1 / (1/2)
  = 2

The endless sum settles on exactly 2.

当 |r| < 1 时，无穷等比级数收敛到 a₁/(1 − r)。