两种描述，同一数列
递推公式分两部分定义数列：一个初始值（或多个初始值），以及一条由前面的项构建每个新项的规则。相比之下，通项公式把 aₙ 直接表示为位置 n 的函数，无需知道前面的项。
Same sequence, two ways: 3, 7, 11, 15, 19, ... Recursive: a_1 = 3, a_n = a_(n-1) + 4 (each term = previous + 4) Explicit: a_n = 3 + (n - 1)(4) = 4n - 1 Recursive must walk: a_4 = a_3 + 4 = 11 + 4 = 15 Explicit jumps: a_50 = 4(50) - 1 = 199 (no need to find a_49 first)
各自的优势所在
当每一步都用上一步来定义时，递推公式很自然——余额上累加的利息、繁衍的种群、著名的斐波那契规则 aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂。它们陈述起来容易，但查询起来慢：要得到第 100 项，你必须先算出它前面的全部 99 项。
通项公式则相反：更难发现，但它们让你代入任意 n 就能立即落到那一项。对于等差和等比数列，我们已经有了简洁的通项形式，所以做直接计算时通常更倾向于用它们。
把递推转换为通项
- 读懂递推规则。如果它是 aₙ = aₙ₋₁ + d，则数列为等差，公差为 d。如果它是 aₙ = aₙ₋₁ · r，则为等比，公比为 r。
- 从初始值读出第一项 a₁。
- 把 a₁ 和 d（或 r）代入相应的通项公式：等差用 aₙ = a₁ + (n − 1)d，等比用 aₙ = a₁ · r^(n − 1)，然后化简。
Convert: a_1 = 6, a_n = (1/2) * a_(n-1) This is geometric: r = 1/2, a_1 = 6 Explicit: a_n = a_1 * r^(n - 1) = 6 * (1/2)^(n - 1) Check: a_3 = 6 * (1/2)^2 = 6 * 1/4 = 3/2 List: 6, 3, 3/2, 3/4, ... (each is half the last — correct)